Förord

UR FÖRORDET TILL FÖRSTA UPPLAGAN

En stor upptäckt löser ett stort problem, men det finns en kärna av upptäckt i lösningen av varje problem. Problemet må vara obetydligt, men om det utmanar ens nyfikenhet och sätter igång ens uppfinningsförmåga och om man löser det utan hjälp av någon, kan man känna den spänning och triumf som kännetecknar varje upptäckt. Om en person gör sådana erfarenheter i en mottaglig ålder kan de ge honom eller henne smak för tankeverksamhet och prägla sinne och karaktär för en hel livstid.

En matematiklärare har här stora möjligheter. Om han fyller ut sina tilldelade timmar med att drilla eleverna i rutinoperationer dödar han deras intresse, lägger hinder i vägen för deras intellektuella utveckling och försitter sina möjligheter. Men om han utmanar sina elevers nyfikenhet genom att ge dem problem som är anpassade efter deras kunskaper och hjälper dem att lösa problemen med stimulerande frågor kan han ge dem smak för och färdigheter i självständigt tänkande.

Om en elev genomgår en utbildning som även omfattar kurser i matematik har även han å sin sida ett enastående tillfälle. Detta tillfälle går naturligtvis förlorat om han betraktar matematik som ett ämne som skall ge honom så och så- många poäng men som han för övrigt bör glömma så snart som möjligt efter tentamen. Tillfället kan gå förlorat även om han har naturlig begåvning för matematik, eftersom han lika väl som alla andra människor måste upptäcka sin begåvning och sin smak. Han kan inte veta om han tycker om hallonpaj om han aldrig har smakat hallonpaj. Kanske upptäcker han emellertid att ett matematikproblem kan vara precis lika roligt som ett korsord eller att hårt tankearbete kan vara en övning lika god som en tennismatch. Om han en gång har fått känna på det som är nöje och njutning i matematiken kommer han inte att glömma den så lätt, och det finns därför stor chans att matematik senare kommer att betyda någonting för honom: en hobby, ett verktyg för hans yrke, hans yrke eller ett av hans stora intressen.

Författaren kommer ihåg när han själv var student, en ganska ambitiös student, ivrig att förstå matematik och fysik. Han gick på föreläsningar, läste böcker, försökte tillgodogöra sig de lösningar och fakta som presenterades, men det fanns en fråga som aldrig upphörde att irritera honom: "Ja, metoden tycks fungera, den verkar vara riktig. Men hur är det möjligt att komma på en sådan lösning? Ja, experimentet tycks fungera, detta verkar vara ett faktum. Men hur kan folk upptäcka sådana fakta? Och hur skall jag bära mig åt för att själv komma på eller upptäcka sådana saker?" I dag undervisar författaren i matematik vid ett universitet. Han tror och hoppas att en del av hans mer intresserade studenter ställer liknande frågor och han försöker tillfredsställa deras nyfikenhet. Genom att försöka förstå inte bara lösningen av det ena eller andra problemet utan också de motiv och tankemönster som ligger bakom lösningen och genom att försöka förklara dessa motiv och mönster för andra kom han slutligen att skriva denna bok. Han hoppas att den skall visa sig användbar för lärare som önskar utveckla sina elevers förmåga att lösa problem och för elever som själva är pigga på att utveckla denna förmåga.

Fastän föreliggande bok ägnar speciell uppmärksamhet åt de behov som elever och lärare i matematik har, bör den intressera var och en som sysslar med de olika sätt och metoder man gör uppfinningar och upptäckter på. Intresset för sådana ting kan vara mer utbrett än man i förstone vill tro. Det utrymme som ägnas åt korsord och andra gåtor i tidningar och tidskrifter tycks tyda på att folk faktiskt tillbringar en hel del tid med att lösa opraktiska problem. Bakom önskan att lösa ett eller annat problem som inte medför några materiella fördelar kan mycket väl ligga en djupare nyfikenhet, en önskan att förstå vägar och metoder, motiv och mönster i en lösning.

Följande sidor är tämligen koncentrerade men så lättfattligt skrivna som möjligt, och de baseras på ett långvarigt och ingående studium av lösningsmetoder. Detta studium av lösningsmetoder, även kallat heuristik, är inte på modet nu för tiden men har ett långt förflutet och kanske också en framtid.

När vi studerar metoderna att lösa problem upptäcker vi en annan sida av matematiken. Ja, matematiken har två sidor. Den är inte bara en strikt vetenskap som hos Euklides utan också någonting annat. Matematik framställd på det euklidiska sättet är en systematisk, deduktiv vetenskap, men matematik i vardande är däremot en experimentell, induktiv vetenskap. Båda aspekterna är lika gamla som matematiken själv. Men den senare aspekten är ny i ett avseende. Matematik "in statu nascendi", i det stadium där den föds, har aldrig förut framställts på detta sätt, varken för elever, lärare eller allmänhet.

Heuristiken har ett otal förgreningar och samband med andra ämnesområden. Matematiker, logiker, psykologer, pedagoger, ja t.o.m. filosofer kan göra anspråk på skilda delar av den som hörande till deras specialområde. Författaren, som är beredd på att få kritik från motsatta läger och som är väl medveten om sina begränsningar, vill dock peka på ett faktum: Han har en del erfarenhet i problemlösning och i matematikundervisning på olika stadier.

Bokens ämne behandlas mer detaljerat av författaren i en utförligare framställning som nu håller på att fullbordas.

Stanford University den 1 augusti 1944.

UR FÖRORDET TILL FÖRSTA UPPLAGANS SJUNDE TRYCKNING

Jag är glad att kunna säga att jag nu åtminstone delvis har lyckats uppfylla det löfte som jag gav i förordet till första tryckningen. De två volymerna Induction and Analogy in Mathematics och Patterns of Plausible Inference, som tillsammans utgör mitt senaste arbete Mathematics and Plausible Reasoning, fortsätter tankegångarna från How to Solve It (Problemlösning).

Zürich den 30 augusti 1954.

FÖRORD TILL ANDRA UPPLAGAN

Andra upplagan innehåller förutom några smärre förbättringar en nyskriven fjärde del: Problem, ledtrådar, lösningar.

När denna upplaga förbereddes för tryckning publicerades en undersökning (Educational Testing Service, Princeton, N.J., jfr Time, 18 juni 1956) med bl.a. följande relevanta synpunkter som var välkända för initierade personer men som det var på tiden att föra ut till en bredare publik: "… matematiken har den tvivelaktiga äran av att vara det minst populära ämnet i skolan … Blivande lärare lär sig under hela sin skoltid att avsky matematiken … De återvänder till skolan för att lära en ny generation att avsky den."

Jag hoppas att denna upplaga, avsedd för en större läsekrets än den förra, kommer att övertyga några om att matematik, förutom att vara en nödvändig inkörsport till ingenjörsyrken och vetenskapliga studier, också kan vara rolig och ge nya utblickar över tankeverksamhet på högsta nivå.

Zurich den 30 juni 1956.