4. Problem, ledtrådar, lösningar

Denna sista del är skriven för att erbjuda läsaren ytterligare tillfälle till övning.

Problemen kräver ingen matematik utöver elementära skolkunskaper. Ändå är de inte alltför lätta och det är inte fråga om rena rutinproblem. Några av dem kräver originalitet och skarpsinne.^|16|

Ledtrådarna ger läsaren en vink om hur resultatet skall nås, för det mesta genom att någon lämplig mening på listan citeras. Om läsaren är uppmärksam och beredd att efterkomma uppmaningarna kan de avslöja nyckelidén till lösningen.

Lösningarna innehåller inte endast svar på uppgiften i fråga utan även en presentation av metoden för att komma fram till detta. Några av detaljerna har naturligtvis här och där måst överlåtas åt läsaren. En del lösningar har på slutet några kommentarer ägnade att visa läsaren på något intressant sammanhang.

Den läsare som har gjort ett allvarligt försök att lösa ett problem har den bästa möjligheten att dra fördel av ledtrådarna och lösningarna. Om han kommer fram till resultatet själv kan han lära sig någonting genom att jämföra sin metod med den metod som ges här. Om han är böjd att ge upp efter att ha gjort en allvarlig ansträngning, kan han bland ledtrådarna kanske finna den idé som fattas. Om inte ens ledtråden är tillräcklig kan han titta på lösningen, försöka plocka ut nyckeliden, lägga boken åt sidan och sedan försöka arbeta fram lösningen.

PROBLEM

1. En björn utgår från punkten P och vandrar en kilometer rakt söderut. Sedan ändrar han riktning och vandrar en kilometer rakt österut. Därefter tar han av till vänster och vandrar en kilometer rakt norrut, varefter han anländer till samma punkt P som han utgick ifrån. Vad har björnen för färg?

2. Bengt skulle gärna vilja ha ett stycke land som ligger på samma höjd över havsytan och som har fyra begränsningslinjer. Två av dessa skall gå i nord-sydlig riktning, de två andra i öst-västlig, och varje gränslinje skall vara 100 m lång. Kan Bengt köpa ett sådant stycke land i Sverige?

3. Bengt har 10 fickor och 44 enkronor. Han vill fördela dessa kronor så att varje ficka innehåller ett olika antal kronor än de övriga. Kan han göra det?

4. För att paginera sidorna i en tjock bok behöver en sättare 2 989 typer. Hur många sidor har boken?

5. Bland farfars papper hittade man följande räkning:

72 kalkoner kr -67:9-

Första och sista siffran i talet, som tydligen utgjorde det totala priset för dessa fjäderfän, har ersatts med streck, ty de är nu så urblekta att de inte längre går att läsa.

Vilka är de siffror som har försvunnit och vad kostade en kalkon?

6. En regelbunden sexhörning och en punkt i dess plan är givna. Dra en rät linje genom den givna punkten som delar sexhörningen i två delar med lika stod yta.

7. En kvadrat är given. Sök orten för de punkter från vilka kvadraten ses under en vinkel av a) 90°, b) 45°. (Låt P vara en punkt utanför kvadraten men i kvadratens plan. Den minsta vinkel med P som hörn vilken innehåller kvadraten är kvadratens synvinkel från P.) Ge en klar beskrivning av båda orterna och rita en fullständig figur.

8. En rät linje som förenar två punkter på ytan av en kropp kallar vi "axel till kroppen", om kroppen efter att ha vridits omkring denna linje i en vinkel som är större än 0º och mindre än 360º intar ett läge som är identiskt med det ursprungliga.

Finn alla axlar till en kub. Beskriv klart läget av varje axel och ange den vridningsvinkel som hör till resp. axel. Beräkna medelvärdet av axlarnas längd under förutsättning att kanten i kuben är av enhetslängd.

9. I en tetraeder (icke nödvändigtvis reguljär) är två motstående kanter vinkelräta mot varandra och har samma längd a. Dessutom är de vinkelräta mot den linje av längd b som förenar deras mittpunkter. Uttryck tetraederns volym i a och b och bevisa resultatet.

10. a) Låt oss kalla en pyramid "likbent" om toppen ligger på samma avstånd från basens alla hörn. Om vi antar denna definition, bevisa att basen i en likbent pyramid är inskriven i en cirkel vars medelpunkt är identisk med fotpunkten för pyramidens höjd.

b) Låt oss nu i stället kalla en pyramid "likbent" om toppen ligger på samma (vinkelräta) avstånd från basens alla sidor. Om vi antar denna definition (som skiljer sig från den föregående), bevisa att basen i en likbent pyramid är omskriven omkring en cirkel vars medelpunkt är identisk med fotpunkten av pyramidens höjd.

11. Sök x, y, u och v, som satisfierar följande ekvationssystem

(Detta kanske verkar långt och tråkigt. Försök finna en enkel och snabb lösning.)

12. Stig, Peter och Gösta reser tillsammans. Peter och Gösta är goda vandrare. De går p kilometer per timme. Stig har ont i foten och kör en liten bil i vilken det finns plats för två personer men inte för tre. Bilen tillryggalägger c kilometer per timme. De tre vännerna kommer överens om följande plan. De startar samtidigt. Gösta åker tillsammans med Stig i bilen medan Peter går. Efter en stund släpper Stig av Gösta, som går vidare medan Stig återvänder för att hämta Peter. Därefter kör Stig och Peter tillsammans i bilen tills de hinner fatt Gösta. Nu byter de igen. Gösta åker och Peter går precis som när de började, och hela proceduren upprepas så länge som det blir nödvändigt.

a) Hur många kilometer i timmen gör sällskapet?

b) Under hur stor del av restiden färdas endast en person i bilen?

c) Undersök extremfallen p = 0 och p = c.

13. Tre tal utgör en aritmetisk serie, tre andra tal en geometrisk serie. Om vi adderar motsvarande termer i dessa två serier successivt får vi 85, 76 och 84. Summan av de tre talen i den aritmetiska serien är lika med 126. Sök termerna i de två serierna.

14. Bestäm m så att ekvationen x⁴ - (3m + 2)x² + m² = 0 har fyra reella rötter x i aritmetisk serie.

15. En rät triangel har omkretsen 60 cm och höjden mot hypotenusan 12 cm. Beräkna sidorna.

16. Från toppen av ett berg ser man två punkter A och B nere på slätten. Synlinjerna i riktning mot dessa punkter bildar vinkeln γ. Den första synlinjen bildar vinkeln α med horisontalplanet, den andra synlinjen vinkeln β. Det är känt att punkterna A och B ligger på samma nivå och att deras avstånd är c.

Uttryck höjden x av bergstoppen ovanför den gemensamma nivån för A och B i vinklarna α, β γ och avståndet c.

17. Vi lägger märke till att värdet av

är 1/2, 5/6, 23/24 för n = 1, 2, 3 resp. Kan man här gissa sig till något allmänt samband? Gör en sådan gissning (ta gärna hjälp av fler värden på n om nödvändigt) och bevisa sedan den allmänna lagen.

18. Betrakta tabellen

Gissa den allmänna lag som antyds av dessa exempel, uttryck den med hjälp av lämpliga matematiska beteckningar och bevisa den.

19. Sidan i en regelbunden sexhörning har längden n (n är ett heltal). Sexhörningen delas in i T liksidiga trianglar med sidan 1 genom ekvidistanta räta linjer parallella med sidorna. Låt V beteckna antalet hörn som uppträder efter delningen och L antalet begränsningslinjer av längden 1. (En begränsningslinje hör till en eller två trianglar, ett hörn till två eller fler trianglar.) För n = 1, som är det enklaste fallet, är T = 6, V = 7, L = 12. Betrakta det allmänna fallet och uttryck T, V och L med hjälp av n. (Att gissa är bra, att bevisa är bättre.)

20. På hur många sätt kan man växla en krona? Vi bortser från tvåöringar och antar alltså att kronan får växlas med hjälp av ettöringar, femöringar, tioöringar, tjugofemöringar och femtioöringar. (Ett "sätt att växla" anser vi vara bestämt genom att ange hur många mynt av varje slag — ettöringar, femöringar, tioöringar, tjugofemöringar och femtioöringar — som använts.)

LEDTRÅDAR

1. Vad är det som söks? Färgen på en björn — men hur skulle vi kunna finna färgen på en björn ur matematiska data? Vad är det som är givet? En geometrisk situation — men den ser ut att vara motsägelsefull. Hur kan björnen komma tillbaka till sin utgångspunkt efter att ha gått 3 km på det sätt som beskrivs?

2. Känner du till något närbesläktat problem?

3. Om Bengt hade haft ett mycket stort antal kronor skulle han uppenbarligen inte haft några som helst svårigheter att fylla var och en av sina fickor med olika antal kronor. Skulle du kunna formulera om problemet? Vilket är det minsta antal kronor som kan stoppas i 10 fickor på ett sådant sätt att det inte finns två fickor som innehåller samma antal?

4. Här är ett närbesläktat problem: Om boken har exakt 9 numrerade sidor, hur många siffror måste då sättaren använda? (9 naturligtvis.) Här är ett annat närbesläktat problem: Om boken har exakt 99 numrerade sidor, hur många siffror måste sättaren då använda?

5. Skulle du kunna formulera om problemet? Vilka kan de två urblekta siffrorna vara för att hela priset, uttryckt i öre, skall vara delbart med 72?

6. Kan du komma på något närbesläktat problem som är lättare att angripa? Ett allmännare problem? Ett analogt problem? (Generalisering, 2.)

7. Känner du till något närbesläktat problem? Orten för de punkter från vilka ett givet segment av en rät linje kan ses under en given vinkel består av två cirkelbågar, som slutar i segmentets ändpunkter och som är symmetriskt belägna i förhållande till segmentet.

8. Jag antar att läsaren känner till kubens form och kanske har funnit vissa axlar helt enkelt genom granskning av den — men är det alla axlar? Kan du bevisa att din lista på axlar är fullständig? Har din lista någon klar klassifikationsprincip?

9. Betrakta den obekanta! Den obekanta är volymen av en tetraeder — ja, jag vet, volymen av varje pyramid kan beräknas om basen och höjden är givna (produkten av båda dividerad med 3) men i det föreliggande fallet är varken basen eller höjden given. Kan du komma på något närbesläktat problem som är lättare att angripa? (Ser du inte möjligen en mer tillgänglig tetraeder som utgör en del av den givna?)

10. Känner du till någon närbesläktad sats? Känner du till någon närbesläktad … enklare … analog sats? Ja, i en likbent triangel är höjdens fotpunkt mittpunkt till basen. Här är en närbesläktad sats som är bevisad förut. Skulle du kunna använda … dess metod? Satsen om den likbenta triangeln bevisas ur kongruenta rätvinkliga trianglar, i vilka höjden utgör en gemensam sida.  

11. Det förutsätts att läsaren något känner till ekvationssystem med linjära ekvationer. För att lösa ett sådant system måste vi kombinera dess ekvationer på något sätt — håll utkik efter samband mellan ekvationerna som skulle kunna antyda en speciellt fördelaktig kombination.

12. Dela upp villkorets olika delar. Kan du skriva ner dem? Mellan startpunkten och den punkt där de tre vännerna träffas igen kan vi urskilja tre faser:

De tre fasernas varaktighet kan vi kalla t₁, t₂och t₃. Hur skulle man bäst kunna dela upp villkoret i olika delar?

13. Dela upp villkorets olika delar. Kan du skriva ner dem? Låt a - d, a, a + d vara termerna i den aritmetiska serien, och bg^-1, b, bg termerna i den geometriska serien.

14. Hur lyder villkoret? De fyra rötterna skall bilda en aritmetisk serie. Men ekvationen har en speciell egenskap. Den innehåller enbart jämna potenser av den okända storheten x. Om a är en rot måste därför också -a vara en rot.

15. Dela upp villkorets olika delar. Kan du skriva ner dem? Vi kan särskilja tre delar av villkoret som berör

16. Dela upp villkorets olika delar. Kan du skriva ner dem? Låt a och b beteckna längden av de (okända) synlinjerna, α och β deras resp. vinklar med horisontalplanet. Vi kan urskilja tre delar av villkoret som berör

17. Verkar talen 2, 6, 24, som står i täljaren, bekanta? Känner du till något närbesläktat problem? Något analogt problem? (Induktion och matematisk induktion.)

18. Upptäckt genom induktion kräver observation. Lägg märke till det högra ledet, de första termerna i det vänstra ledet och de sista termerna. Hur lyder det allmänna sambandet?

19. Rita en figur. Genom att observera denna kan du kanske upptäcka lagen på induktiv väg eller finna relationer mellan T, V, L och n.

20. Vad är det som söks? Vad är det vi skall finna? Här kanske t.o.m. problemets syfte kan behöva klargöras. Kan du komma på något närbesläktat problem som är lättare att angripa? Ett allmännare problem? Ett analogt problem? Här är ett mycket enkelt analogt problem: På hur många sätt kan du betala ett öre? (Det finns bara ett sätt.) Här är ett mer allmänt problem: På hur många sätt kan du betala en summa på n öre genom att använda ettöringar, femöringar, tioöringar, tjugofemöringar och femtioöringar? Vi är här speciellt intresserade av fallet n = 100.

För de enklaste specialfallen, för små värden på n, kan vi tänka ut svaret utan någon komplicerad metod enbart genom att försöka, genom att granska situationen. Här är en kort tabell (som läsaren bör kontrollera).

Den första raden upptar de belopp som skall betalas, som vi allmänt betecknar n. Den andra raden upptar motsvarande antal "sätt att betala", som vi allmänt kallar E_n. (Varför jag valt denna notation är min hemlighet. Jag tänker inte avslöja den på detta stadium.)

Vi är speciellt intresserade av E₁₀₀, men det är knappast troligt att vi kan beräkna E₁₀₀ utan någon klar metod. I själva verket kräver detta problem en del mer av läsaren än de föregående. Läsaren måste här skapa en liten teori.

Vår fråga är allmän (att beräkna E_nför godtyckligt n), men den är "isolerad". Kan du komma på något närbesläktat problem som är lättare att angripa? Ett analogt problem? Här är ett mycket enkelt analogt problem: Finn A_n, antalet sätt att betala en summa av n öre enbart med hjälp av ettöringar (A_n = 1).

LÖSNINGAR

1. Tror du att björnen är vit och att punkten P är nordpolen? Kan du bevisa att det är riktigt? Det är mer eller mindre underförstått att vi idealiserar frågeställningen. Vi betraktar jorden som exakt sfärisk och björnen som en materiell punkt. När denna punkt rör sig rakt söderut eller rakt norrut beskriver den en meridianbåge, och när den rör sig rakt österut beskriver den en båge i en parallellcirkel (parallell med ekvatorn). Vi särskiljer två fall.

a) Om björnen återvänder till punkten P längs en annan meridian än den längs vilken han lämnade P, måste P vara nordpolen. Den enda andra punkt på jordgloben i vilka två meridianer möter varandra är i själva verket sydpolen, men björnen kan lämna denna punkt endast genom att röra sig norrut.

b) Björnen skulle kunna återvända till punkten P längs samma meridian utefter vilken han lämnade P, om han på sin väg rakt österut beskriver en parallellcirkel exakt n gånger, där n kan vara 1, 2, 3, …. I detta fall är P inte nordpolen utan en punkt 1 km norr om en sådan parallellcirkel som ligger mycket nära sydpolen och vars omkrets är 1/n av 1 km. Dessvärre finns emellertid inga björnar vid sydpolen.

2. Vi föreställer oss jordklotet som i lösningen till problem 1. Det land som Bengt vill ha begränsas av två meridianer och av två parallellcirklar. Om vi föreställer oss två fasta meridianer och en parallellcirkel som rör sig bort från ekvatorn så ser vi att den båge som meridianerna skär av på den rörliga parallellcirkeln ständigt blir kortare. Mitten av Bengts landstycke måste alltså ligga på ekvatorn. Han kan inte få det i Sverige.

3. Det minsta möjliga antalet kronor i en ficka är uppenbarligen noll. Nästa större antal är åtminstone 1, det därefter åtminstone 2 och antalet i den sista (tionde) fickan är åtminstone 9. Det antal kronor som behövs är därför åtminstone 0 + 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45. Bengt kan inte göra det. Han har bara 44 kronor.

4. En volym på 999 sidor behöver 9 + 2 × 90 + 3 × 900 = 2889 siffror. Om den tjocka volymen i fråga har x sidor, får vi 2889+4(x-999)=2989 varav x=1024.

Detta problem kan lära oss att en preliminär beräkning av den okända storheten kan vara nyttig (eller t.o.m. nödvändig som i just detta fall).

5. Om -679- är delbart med 72, är det delbart både med 8 och med 9. Om det är delbart med 8 måste talet 79- vara delbart med 8 (eftersom 1000 är delbart med 8), och därför måste 79- vara lika med 792. Den sista av de urblekta siffrorna är alltså 2. Om -6792 skall vara delbart med 9 måste även tvärsumman (summan av talets siffror) vara delbar med 9 (enligt "9-regeln") och alltså måste den första av de båda urblekta siffrorna vara 3. Priset för en kalkon var alltså (på farfars tid) 367,92/72=5,11.

6. "En punkt och en figur med symmetricentrum (i samma plan) är givna till läget. Finn en rät linje som går genom den givna punkten och halverar den givna figurens yta." Den sökta linjen passerar naturligtvis genom symmetricentrum. Se Uppfinnarparadoxen.

Fig. 31

7. Oberoende av punktens läge måste vinkelns två sidor gå genom två av kvadratens hörn. Så länge de går genom samma par av hörn rör sig vinkelns spets utefter samma cirkelbåge (enligt en sats antydd i ledtråden). Därför måste var och en av de två orterna bestå av flera cirkelbågar: av fyra halvcirklar i uppgift a) och av åtta kvartscirklar i uppgift b), se fig. 31.

8. Axlarna tränger in genom kubens yta i någon punkt som antingen är ett hörn eller ligger på en kant eller någonstans på en yta. Om axeln går genom en punkt på en kant (men inte genom några av dess ändpunkter) måste punkten i fråga vara mittpunkten. I annat fall skulle kanten inte kunna återkomma i samma läge efter vridningen. På liknande sätt måste en axel genom en punkt på ytan gå genom denna ytas centrum. Varje axel måste naturligtvis passera kubens mittpunkt. Följaktligen finns det tre slags axlar:

a) 4 axlar som var och en går genom två motbelägna hörn; vridningsvinklar 120º, 240º

b) 6 axlar som var och en går genom mittpunkterna till två motbelägna kanter; vridningsvinkel 180º

c) 3 axlar som var och en går genom mittpunkterna till två motbelägna ytor; vridningsvinklar 90º, 180º, 270º.

Beträffande längden av de första axlarna se avsnitt 12. De andra axlarna är ännu lättare att beräkna. Det sökta medelvärdet är (4√3+6√2 + 3)/13=1,416. (Detta problem kan vara nyttigt för en läsare som tänker studera kristallografi. För en läsare med tillräckliga kunskaper i integralkalkyl kan det vara värt att observera att det beräknade medelvärdet är en tämligen god approximation av kubens "medeltjocklek", som i själva verket är 3/2 = 1,5.)

9. Ett plan som går genom någon av kanterna a jämte sträckan b delar tetraedern i två mer tillgängliga kongruenta tetraedrar, vardera med basen ab/2 och höjden a/2. Alltså är den sökta volymen

10. Pyramidens bas är en månghörning med n sidor. I uppgift a) är pyramidens n sidokanter lika, i uppgift b) är höjderna (dragna från toppen) till dess n sidoytor lika. Om vi drar pyramidens höjd och förenar fotpunkten med de n hörnen i basen i uppgift a) medan vi i uppgift b) förenar fotpunkten med fotpunkterna till de n sidoytornas höjder, får vi i båda fallen n räta trianglar för vilka pyramidens höjd utgör en gemensam sida. Jag påstår att dessa n räta trianglar är kongruenta. Hypotenusan [en sidokant i uppgift a), en sidohöjd i uppgift b)] har nämligen i var och en av dem samma längd enligt definitionerna i problemets formulering. Vi har just nämnt att en annan sida (pyramidens höjd) och en vinkel (den räta vinkeln) är gemensamma för alla. I de n kongruenta trianglarna måste även de tredje sidorna vara lika. De dras alla från samma punkt (höjdens fotpunkt) i samma plan (basen). Tillsammans bildar dessa sidor n radier i en cirkel som är omskriven omkring eller inskriven i pyramidens bas i uppgift a) resp. b). [I uppgift b) återstår emellertid att visa att de n radierna är vinkelräta mot respektive sidor i basen. Detta följer ur en välkänd rymdgeometrisk sats om projektioner.]

Det är mycket anmärkningsvärt att en plan figur, den likbenta triangeln, kan ha två olika analogier i rymdgeometrin.

11. Observera att den första ekvationen förhåller sig till den sista som den andra till den tredje. Koefficienterna i vänstra ledet är desamma men kommer i motsatt ordning, medan de högra leden är lika stora med motsatt tecken. Addera den första ekvationen till den sista och den andra till den tredje:

Detta kan betraktas som ett ekvationssystem med två linjära ekvationer med två obekanta, nämligen x + u och y + v. Vi får lätt x + u = 0 och y + v = 0. Substituerar vi - x för u och - y för v i de två första ursprungliga ekvationerna får vi

Detta är ett enkelt system, vars lösning är x = -2, y = 2, u = 2, v= -2.

12. Mellan startpunkten och mötespunkten tillryggalägger var och en av vännerna samma sträcka. (Kom ihåg att vägen = hastigheten × tiden.) Vi urskiljer två delar i villkoret: Stig tillryggalägger samma sträcka som Gösta:

ct₁ - ct₂ + ct₃ = ct₁ + pt₂ + pt₃

Gösta tillryggalägger samma sträcka som Peter:

ct₁ + pt₂ + pt₃ = pt₁ + pt₂ + ct₃

Den andra ekvationen ger

(c - p)t₁ = (c - p)t₃

Vi antar naturligtvis att bilen färdas snabbare än en fotgängare, dvs. c > p. Härav följer att t_l = t₃, dvs. Peter går precis samma sträcka som Gösta. Ur den första ekvationen finner vi att

vilket naturligtvis också blir värdet för t₁/t₂. Alltså erhåller vi svaren:

a)

b)

c) Vi har att 0 < p < c. Detvå extremfallen är:

Om p = 0 så ger a) c/3 och b) 1/3

Om p = c så ger a) c och b) 0.

Dessa resultat inses direkt utan beräkning.

13. Villkoret kan lätt uppdelas i fyra delar, som uttrycks av de fyra ekvationerna

Den sista ekvationen ger a = 42, den andra ger därefter b = 34. Om vi lägger ihop de två återstående ekvationerna (för att eliminera d) erhåller vi 2a + b(g^-1 + g) = 169. Eftersom a och b redan är kända har vi här en andragradsekvation för g. Ur denna får vi g = 2, d= -26 eller g = 1/2, d = 25.

Serierna är alltså 68, 42, 16 och 17, 34, 68 eller 17, 42, 67 och 68, 34, 17.

14. Om a och -a betecknar rötterna med det minsta absoluta värdet, kommer de att följa på varandra i serien, som därför har utseendet -3a, -a, a, 3a. Följaktligen måste vänstra ledet i den givna ekvationen ha formen (x² - a²)(x² - 9a²). Utför vi här multiplikationen och jämför koefficienterna för termer med samma gradtal erhåller vi systemet

Genom att eliminera a får vi 19m² - 108m - 36 = 0. Alltså är m = 6 eller -6/19.

15. Låt a, b och c beteckna sidorna, c är hypotenusan. Villkorets tre delar kan uttryckas genom

Om vi använder likheten (a + b)² = a² + b² + 2ab erhåller vi (60 - c)² = c² + 24c. Alltså är c = 25, och antingen a = 15, b = 20 eller a = 20, b = 15 (detta gör ingen skillnad för triangeln).

16. Villkorets tre delar kan uttryckas genom

Elimineringav a och b ger

17. Vi gissar att

Om vi följer mönstret i Induktion och matematisk induktion frågar vi: Förblir den gissade formeln giltig när vi går från värdet n till nästa värde n + 1? Jämte ovanstående samband måste i så fall gälla

Kontrollera detta genom att subtrahera det sista sambandet från det förra:

vilket reduceras till

och denna sista ekvation är uppenbarligen sann för n = 1, 2, 3, … Således kan vi genom att följa det mönster som vi refererat till ovan visa riktigheten av vår gissning.

18. Det högra ledet av n-te raden tycks vara n³. Motsvarande vänstra led är en summa av n termer. Den sista termen av denna summa är det m-te udda talet eller 2m - 1 där

Se Induktion och matematisk induktion, 4. Alltså kommer den sista termen i summan i vänstra ledet att vara 2m - 1 = n² + n - 1. Vi kan nu härleda den första termen i varje summa på två sätt. Genom att gå tillbaka n - 1 steg från den sista termen finner vi (n² + n - 1) - 2(n - 1) = n² - n + 1. Om vi däremot går ett steg framåt från den sista termen i föregående rad finner vi [(n - 1)² + (n - 1) - 1] + 2 vilket förenklat visar sig vara samma sak. Bra! Vi kan därför påstå att (n² - n + 1) + (n² - n + 3) + … + (n² + n - 1) = n³, där vänstra ledet utgör summan av n på varandra följande termer i en aritmetisk serie med differensen 2. Om läsaren känner till formeln för summan av en sådan serie (aritmetiska mediet av första och sista termen multiplicerat med antalet termer), kan han visa att

och följaktligen bevisa påståendet.

(Den nyss nämnda formeln kan lätt bevisas med hjälp av en figur liknande fig. 20.)

19. Längden av den regelbundna sexhörningens omkrets med sidan n är 6n. Omkretsen består alltså av 6n begränsningslinjer med längden 1 och innehåller 6n hörn. Vid övergången från n - 1 till n ökar V därför med 6n enheter och följaktligen är V = 1 + 6(1 + 2 + 3 + … + n) = 3n² + 3n + 1. Se Induktion och matematisk induktion, 4. Tre diagonaler genom sexhörningens centrum delar denna i 6 (stora) liksidiga trianglar. Granskar vi en av dessa finner vi att T = 6(1 + 3 + 5 + … + 2n - 1) = 6n² genom användning av formeln för summan av en aritmetisk serie, angiven i lösningen till problem 18. De T trianglarna har tillsammans 3T sidor. I denna totala summa på 3T sidor har varje inre delningslinje med längden 1 räknats två gånger, medan de 6n linjerna utefter sexhörningens omkrets bara har räknats en gång. Alltså följer att 2L = 3T + 6n och L = 9n² + 3n.

(För den mer försigkomne läsaren: Det följer ur Eulers teorem om polyedrar att T + V = L + 1. Bevisa detta samband!)

20. Här är en ordnad följd av analoga problem: Beräkna A_n, B_n, C_n, D_n och E_n. Var och en av dessa storheter representerar antalet sätt att betala en summa av n öre. Skillnaden består i vilka mynt som får användas:

Symbolerna E_n (skälet för beteckningen nu klart) och A_n har använts förut.

Alla möjliga sätt att betala beloppet n öre med hjälp av fem slags mynt betecknas med E_n. Vi kan emellertid särskilja två möjligheter:

För det första. Ingen femtioöring används. Antalet sätt att betala är då D_n enligt definitionen.

För det andra. En femtioöring (eller möjligtvis fler) används. Sedan den första femtioöringen lagts på disken återstår att betala n - 50 öre, vilket kan ske på exakt E_n - 50 olika sätt.

Vi sluter oss alltså till att

På liknande sätt är

Med litet uppmärksamhet ser vi att dessa formler förblir giltiga om vi sätter

A₀ = B₀ = C₀ = D₀ = E₀ = 1

(vilket uppenbarligen förefaller rimligt) och betraktar vilken som helst av storheterna A_n, B_n, …, E_n som lika med 0 om dess index råkar bli negativ. (Exempelvis är E₂₅ = D₂₅, vilket kan ses omedelbart, och detta överensstämmer med den första formeln eftersom E_25-50=E_-25 = 0.)

Våra formler tillåter oss att beräkna de sökta storheterna rekursivt, dvs. genom att gå bakåt till lägre värden på n eller till tidigare bokstäver i alfabetet. Vi kan t.ex. beräkna C₃₀ genom enkel addition om C₂₀ och B₃₀ är kända. I nedanstående tabell innehåller den första raden, som börjar med A, och den första kolumnen, som börjar med 0, enbart ettor. (Varför?)

Om vi börjar med dessa begynnelsetal kan vi beräkna de andra rekursivt genom enkel addition. Vilket godtyckligt tal som helst i tabellen är antingen lika med det tal som står ovanför det eller lika med summan av två tal, nämligen talet ovanför och ett annat på rätt avstånd till vänster.

Sålunda är t.ex.

C₃₀ = B₃₀ + C₂₀ = 7 + 9 = 16

Beräkningen är genomförd fram till E₅₀ = 50. Man kan betala 50 öre på exakt 50 olika sätt utan att använda tvåöringar. Om läsaren fortsätter beräkningen kan han övertyga sig om att E₁₀₀ = 292. Man kan växla en krona på 292 olika sätt utan att använda tvåöringar.

På hur många sätt kan en krona växlas om man även får använda tvåöringarna?