Pappus, en betydande grekisk matematiker, levde förmodligen omkring 300 f.Kr. I sjunde boken av sina Collectiones berättar Pappus om en forskningsgren som han kallar analyomenos. Vi skulle kunna översätta detta namn med "analysens guldgruva" eller "konsten att lösa problem" eller t.o.m. "heuristik". Vi föredrar här den sista termen. Pappus' avhandling finns tillgänglig i engelsk översättning.^|12| Här följer ett fritt återgivande av originaltexten:

"Den s.k. heuristiken är, för att uttrycka det kort, en speciell disciplin att användas av dem som efter att ha studerat Elementa önskar förvärva förmågan att lösa matematiska problem, och den är användbar enbart för detta. Den är ett verk av tre män, Euklides, författaren till Elementa, Apollonios från Perge och Aristius den äldre. Den lär ut den analytiska och den syntetiska metoden.

Vid den analytiska metoden utgår vi från det som söks, vi tar det för givet och vi drar slutsatser av det. Från dessa slutsatser drar vi ytterligare slutsatser tills vi når en punkt som vi kan använda som utgångspunkt för den syntetiska metoden. Vid den analytiska metoden utgår vi från att det som skall göras redan har blivit gjort (det som söks har redan blivit funnet, det som skall bevisas antas vara sant). Vi frågar oss ur vilken förutsättning det önskade resultatet kan erhållas. Sedan frågar vi vad som måste vara förutsättning för denna förutsättning osv. tills vi, i det vi går från förutsättning till förutsättning, slutligen träffar på någonting redan känt eller obestridligen sant. Denna metod kallar vi analys eller baklängeslösning eller regressivt resonemang.

Men vid den syntetiska metoden börjar vi genom att vända på processen från det steg som vi nådde sist vid den analytiska metoden, från det som redan är känt eller obestridligen sant. Vi härleder ur detta steg det moment som i analysen föregick detta steg. På så sätt fortsätter vi att göra härledningar under det att vi vänder om samma väg tills vi slutligen lyckas komma fram till det som söks. Denna metod kallar vi syntes eller konstruktiv lösning eller progressivt resonemang.

Nu finns det analyser av två slag. Det ena är analys av ett 'bevisproblem' och syftar till att fastställa sanna satser. Det andra är analys av 'sökproblem' och syftar till att finna den okända storheten.

Om vi har ett 'bevisproblem' krävs att vi skall bevisa eller vederlägga en klart formulerad sats A. Vi vet ännu inte om A är sann eller falsk, men vi härleder ur A en annan sats B, från B en annan sats C osv. tills vi kommer fram till en sista sats L som vi känner till helt och hållet. Om L är sann kommer A också att vara sann förutsatt att alla våra härledningar gäller omvänt. Ur L bevisar vi sats K som föregick L i analysen och genom att fortsätta på samma sätt vänder vi om samma väg. Ur C bevisar vi B, ur B bevisar vi A, och så har vi nått vårt mål. Om emellertid L är falsk har vi visat att också A är falsk.

Om vi har ett 'sökproblem' krävs att vi finner en viss okänd storhet x som uppfyller ett klart formulerat villkor. Vi vet ännu inte huruvida en storhet som uppfyller detta villkor över huvud taget existerar. Men genom att anta att det finns ett x som uppfyller det uppställda villkoret kan vi ur detta x härleda en annan okänd storhet y, som måste tillfredsställa ett relaterat villkor. Därefter sammankopplar vi y med en tredje storhet osv. tills vi kommer till en sista okänd storhet z som vi kan finna genom en känd metod. Om det då finns något z som uppfyller det villkor vi uppställde för det, kommer det också att finnas ett x som uppfyller det ursprungliga villkoret, förutsatt att alla våra härledningar gäller omvänt. Först tar vi reda på z. När vi känner z kan vi sedan finna den okända storhet som föregick z i analysen. Fortsätter vi på samma sätt går vi samma väg tillbaka och när vi nått fram till y erhåller vi slutligen också x, och så har vi nått målet. Om det emellertid inte finns någon storhet som skulle kunna uppfylla det villkor som ställs på z, har problemet som handlar om x ingen lösning."

Vi får inte glömma att ovanstående inte är någon ordagrann översättning utan en fri återgivning, en parafras. Flera skillnader mellan originalet och parafrasen förtjänar att kommenteras, ty Pappus' text är betydelsefull på många sätt.

1. Vår parafras använder en mer exakt terminologi än originalet och inför symbolerna A, B, …, L och x, y, z som originalet inte har.

2. Parafrasen talar om matematiska problem medan originalet talar om geometriska problem. Detta understryker att de metoder som Pappus beskriver inte på något sätt är begränsade till geometriska problem. De är i själva verket inte ens begränsade till matematiska problem. Vi skall illustrera detta genom exempel eftersom det i detta sammanhang är viktigt att framhålla att metoden är allmän och oberoende av ämnets natur (se avsnitt 3).

3. Algebraisk illustration. Sök det värde på x som satisfierar ekvationen 8(4^x + 4^-x) - 54(2^x + 2^-x) + 101 = 0.

Detta är ett "sökproblem" som inte är alltför lätt för en nybörjare. Han måste känna till den analytiska metodens idé, inte ordet "analys" naturligtvis men idén att uppnå målet genom upprepad reduktion. Dessutom måste han kunna lösa de enklaste typerna av ekvationer. Även med en del kunskaper krävs det en god idé, litet tur, litet uppfinningsförmåga för att lägga märke till att, eftersom 4^x = (2^x)² och 4^-x = (2^x)^-2, bör det vara fördelaktigt att införa y = 2^x.

Denna substitution är verkligen fördelaktig, ty den ekvation som erhålls för y, nämligen 8(y² + 1/y²) - 54(y + l/y) + 101 = 0, tycks vara enklare än den ursprungliga ekvationen. Uppgiften är emellertid ännu inte löst. Den kräver ytterligare ett litet knep, ytterligare en substitution, z = y + 1/y, som transformerar villkoret till 8z² - 54z + 85 = 0. Här slutar analysen, förutsatt att problemlösaren vet hur man får lösningen av en andragradsekvation.

Vad innebär syntesen? Att steg för steg utföra de beräkningar vars möjlighet förutsågs i analysen. Problemlösaren behöver ingen ny ide för att fullfölja lösningen, endast litet tålamod och uppmärksamhet för att beräkna de olika storheterna. Ordningen i beräkningen är motsatt ordningen för substitutionerna. Först löser vi z (z = 5/2, 17/4), därefter y (y = 2, 1/2, 4, 1/4) och slutligen den ursprungligen efterfrågade storheten x (x = 1, - 1, 2, - 2). I syntesen företar vi analysens steg i omvänd ordning och det är lätt att i detta fall se varför det är så.

4. Icke-matematisk illustration. En urskogsvilde vill ta sig över en flod, men han kan inte göra detta på det vanliga sättet eftersom vattnet har stigit under natten. Att ta sig över blir därför ett problem: "Att ta sig över floden" utgör x i detta primitiva problem. Mannen kanske erinrar sig att han har gått över en annan flod genom att gå över ett nedfallet träd. Han ser sig därför om efter ett lämpligt nedfallet träd, vilket nu blir hans okända storhet, hans y. Han finner inget lämpligt träd men det står massor av träd utefter floden. Han önskar att något av dem skulle falla. Skulle han själv kunna göra så att ett träd föll över floden? Här har vi den ljusa idén och nu finns det också en ny okänd storhet: På vilket sätt skulle han kunna fälla ett träd över floden?

Denna följd av idéer bör kallas analys om vi accepterar Pappus' terminologi. Om urskogsvilden lyckas med att fullständigt genomföra sin analys kan han bli den som uppfinner både bron och yxan. Vad kommer syntesen att innebära? Översättning av idéerna till handling. Syntesens sista steg utför mannen när han tar sig över floden promenerande på trädet.

Analysen och syntesen innehåller samma objekt. De sysselsätter mannens tankar i analysen och hans muskler i syntesen. Analysen består av tankar, syntesen av handlingar. Det finns en annan skillnad: Ordningen är omkastad. Att gå över floden är den första önskan med vilken analysen börjar och är den sista handlingen med vilken syntesen slutar.

5. I parafrasen antyds på ett litet tydligare sätt än i originalet det naturliga sambandet mellan analys och syntes. Sambandet är uppenbart efter de föregående exemplen. Analysen kommer naturligen först, syntesen efteråt. Analys innebär uppfinning, syntes utförande. Analys innebär att göra upp en plan, syntes att genomföra planen.

6. Parafrasen bevarar och t.o.m. framhäver vissa egendomliga fraser hos originalet: "Antag att det som skall göras redan har blivit gjort, att det som söks har blivit funnet, att det som skall bevisas är sant." Detta är paradoxalt. Är det inte rent självbedrägeri att anta att det problem som skall lösas redan är löst? Detta är dunkelt, vad innebär det? Om vi närmare undersöker sammanhanget och gör ett ärligt försök att förstå vår egen erfarenhet av att lösa problem, kan betydelsen knappast vara oklar.

Låt oss först studera ett "sökproblem". Vi kallar det som söks för x och det som är givet för a, b, c. Att "anta att problemet är löst" innebär att anta att det existerar ett objekt x som uppfyller villkoret, dvs. som står i sådan relation till det givna a, b, c som villkoret föreskriver. Detta antagande görs enbart för att vi skall kunna börja analysen, det är provisoriskt och det är oskyldigt. För om det inte finns något sådant objekt och analysen leder oss någonstans, kommer den att leda oss till ett slutgiltigt problem som inte har någon lösning och följaktligen kommer det att bli uppenbart att vårt ursprungliga problem inte heller har någon lösning. Men i så fall är vårt antagande meningsfullt. För att kunna undersöka villkoret måste vi föreställa oss eller åskådliggöra geometriskt den relation som villkoret föreskriver mellan x och a, b, c. Hur skulle vi kunna göra detta utan att föreställa oss att x verkligen existerar? Vårt antagande är också naturligt. Den primitive mannen, vars tankar och handlingar vi diskuterade i avsnitt 4, föreställer sig själv gående på ett nedfallet träd över floden långt innan han faktiskt kan göra det. Han betraktar sitt problem "som löst".

Syftet med ett "bevisproblem" är att bevisa en viss sats A. Rådet att "anta A vara sann" är bara en uppmaning att dra slutsatser av sats A fastän vi ännu inte har bevisat den. Vissa människor skulle motsätta sig att dra slutsatser av en obevisad sats, men sådana människor kan inte heller börja en analys.

Jämför Figurer, 2.

7. Parafrasen använder två gånger den viktiga frasen "förutsatt att alla våra härledningar gäller omvänt". Detta är ett tillägg som inte finns i den ursprungliga texten. Att originalet inte innehåller någon reservation av detta slag har observerats och kritiserats i nyare tid. Se Hjälpproblem, 6 för begreppet "omvändbar reduktion".

8. Analys av "bevisproblem" förklaras i parafrasen helt annorlunda än i originalet men innebörden har inte ändrats. Under alla förhållanden har det inte funnits någon avsikt att ändra innebörden. Analysen av "sökproblem" är å andra sidan mer konkret uttryckt i parafrasen än i originalet. Originalet förefaller att syfta mot en beskrivning av en något mer allmän metod, konstruktionen av en kedja av ekvivalenta hjälpproblem, vilket beskrivs i Hjälpproblem, 7.

9. Många elementära läroböcker i geometri innehåller några kommentarer om analys, syntes och "att anta att problemet är löst". Det råder ingen tvekan om att denna nästan outrotliga tradition går tillbaka till Pappus fastän det knappast finns en lärobok idag vars författare skulle kunna visa någon närmare kännedom om Pappus. Ämnet är tillräckligt viktigt för att nämnas i elementära läroböcker men missförstås lätt. Enbart den omständigheten att diskussionen är begränsad till läroböcker i geometri visar att den f.n. saknar tillräcklig förståelse; se avsnitt 2 ovan. Om de föregående kommentarerna kan bidra till en bättre förståelse av detta ämne är det utrymme de tagit mer än nog berättigat.

För ytterligare exempel, en annorlunda synvinkel och ytterligare kommentarer, se Att arbeta baklänges. Jämför också Reductio ad absurdum och indirekt bevis.

Pedanteri och sunt förnuft kan sägas vara motsatta sätt på vilka regler kan tillämpas.

1. Att tillämpa en regel till punkt och pricka, stelt och okritiskt, i sådana fall där den är tillämplig och i sådana fall där den inte är tillämplig, det är pedanteri. Det är synd om pedanter. De har aldrig förstått de regler som de tillämpar så samvetsgrant och så kritiklöst. En del av dem lyckas ganska bra, nämligen de som inser den aktuella regelns egentliga innebörd, åtminstone till en början (innan de blir pedanter), och kan välja en bra regel som kan användas i många fall och slår fel bara då och då.

Att tillämpa en regel på ett otvunget sätt, med omdöme, med uppmärksamheten på de fall där den är användbar och utan att någonsin låta regelns bokstav skymma det syfte för vilket regeln används eller situationens möjligheter, det är att använda sunt förnuft.

2. Frågorna och uppmaningarna på vår lista kan vara användbara både för problemlösare och för lärare. Men först och främst måste man förstå deras innebörd, lära sig deras riktiga användning, och man skall lära sig dem genom att de får visa vad de duger till i praktiska tillämpningar. För det andra får man aldrig använda dem på ett pedantiskt sätt. Man skall aldrig använda en fråga eller följa en uppmaning omdömeslöst genom att följa något stelt mönster. Men man skall vara förberedd för olika frågor och uppmaningar och använda sitt omdöme. Man brottas med ett svårt och fascinerande problem. Det steg man skall ta måste vara frammanat av en uppmärksam och förutsättningslös föreställning av det problem man har framför sig. Man vill hjälpa en elev. Det man säger till honom måste bygga på en äkta förståelse av hans svårigheter.

Om man är benägen att bli pedantisk och måste ha en regel att följa, välj denna: Använd alltid ditt förstånd först och främst.

Praktiska problem skiljer sig i olika avseenden från rent matematiska problem. Likväl är de grundläggande motiven och procedurerna för att lösa dem väsentligen desamma. Praktiska ingenjörsproblem innehåller vanligen matematiska problem. Vi skall uppehålla oss något vid skillnaderna, analogierna och sambandet mellan dessa två slags problem.

1. Ett imponerande praktiskt problem är att bygga en damm tvärs över en flod. Inga speciella kunskaper behövs för att förstå detta problem. Nästan under förhistorisk tid, långt före vår tidsålder med vetenskapliga teorier, byggde människor dammar av något slag i Nildalen och i andra delar av världen där skördarna var beroende av konstbevattning.

Låt oss åskådliggöra problemet att bygga en modern dammbyggnad.

Vad är det som söks? Många okända storheter ingår i ett problem av detta slag: dammens exakta läge, dess geometriska form och dimensioner, byggnadsmaterial osv.

Hur lyder villkoret? Vi kan inte besvara denna fråga med en enkel mening eftersom det finns många villkor. I ett så stort projekt är det nödvändigt att tillfredsställa många viktiga ekonomiska behov och att inkräkta på andra krav så litet som möjligt. En damm skall lämna elektrisk kraft, vatten till samhällen eller för konstbevattning och också hjälpa till att kontrollera vattenståndet i floder. Å andra sidan bör den så litet som möjligt störa sjöfart eller ekonomiskt betydelsefullt fiske eller vacker natur osv. Och naturligtvis skall den kosta så litet som möjligt och byggas så fort som möjligt.

Vad är det som är givet? Mängden av nödvändiga utgångsdata är enorm. Vi behöver topografiska data om flodens omgivningar och dess bifloder, geologiska data av betydelse för beräkning av grundens hållfasthet, av eventuellt läckage och av tillgängligt byggnadsmaterial, vidare meteorologiska data om årlig nederbörd och vattenstånd i floderna, ekonomiska data om markvärdet av de områden som skall sättas under vatten, om material- och arbetskostnader osv.

Vårt exempel visar att de okända storheterna, de givna uppgifterna och villkoren är betydligt mera komplexa och mindre klart definierade i ett praktiskt problem än i ett matematiskt problem.

2. För att lösa ett problem måste vi ha en viss mängd tidigare förvärvade kunskaper. Den nutida ingenjören förfogar över högt specialiserade kunskaper, en vetenskaplig teori om materials hållfasthet, sina egna erfarenheter och den stora mängd ingenjörserfarenheter som finns samlad i teknisk speciallitteratur. Vi kan inte i vårt exempel dra nytta av sådana speciella kunskaper men vi kan försöka föreställa oss vad en forntida egyptisk dammbyggare grubblade på.

Han har naturligtvis sett flera andra men kanske mindre dammar: jordbankar eller murade vallar som heller tillbaka vattnet. Han har sett hur floden, full med en massa bråte, pressar mot banken. Han kanske har hjälpt till att laga sprickor och motarbeta erosion förorsakad av floden. Han kanske har sett hur en damm har gett vika och brustit under flodens tryck. Han har säkert hört historier om dammar som har hållit för påfrestningar under århundraden eller som har förorsakat katastrofer genom att helt oväntat ge vika. Han kanske har utmålat för sig själv flodens tryck mot dammen och påfrestningarna inne i dammväggen.

Ände hade den egyptiske dammbyggaren ingen precis, kvantitativ, vetenskaplig föreställning om vätsketryck eller om påfrestningarna i en fast kropp. Sådana begrepp utgör en väsentlig del av den intellektuella utrustningen hos en modern ingenjör. Denne använder e sin sida emellertid också en hel del kunskaper som ännu inte har nått en precis, vetenskaplig nivå. Det han vet om erosion och slamavlagring, om plasticitet och andra egenskaper hos olika material, är kunskaper av ganska empirisk karaktär.

Vårt exempel visar att de kunskaper som behövs och de begrepp som används är mer komplexa och mindre klart definierade i praktiska problem än i matematiska problem.

3. De okända storheterna, de givna storheterna, villkoren, begreppen, nödvändiga kunskaper, allt detta är mera komplext och mindre klart i praktiska problem än i rent matematiska problem. Detta är en viktig skillnad, kanske den huvudsakliga skillnaden, och den innebär säkerligen ytterligare skillnader. Likväl tycks de fundamentala motiven för och procedurerna att lösa problemen vara av samma slag i båda typerna av problem.

Enligt en allmänt spridd åsikt kräver praktiska problem mer erfarenhet än matematiska problem. Det kanske kan vara se. Men sannolikt ligger skillnaden i arten av de kunskaper som behövs och inte i vår inställning till problemet. När vi löser ett problem av den ena eller andra typen måste vi bygga på vår erfarenhet av liknande problem och vi ställer ofta frågorna: Har du sett samma problem i en något annorlunda form? Känner du till något närbesläktat problem?

När vi löser ett matematiskt problem utger vi från mycket klara begrepp som ligger något se när välordnade i vårt minne. När vi löser ett praktiskt problem är vi ofta tvungna att utge från ganska diffusa idéer. I se fall kan en viktig del av problemet bestå i att klara ut begreppen. Se har t.ex. den medicinska vetenskapen idag bättre möjligheter att kontrollera infektionssjukdomar än den hade före Pasteur, de själva begreppet infektion var ganska vagt. Har du tagit hänsyn till alla nödvändiga begrepp som ingår i problemet? Detta är en bra fråga i alla slags problem men hur den skall användas beror på arten av de inblandade begreppen.

I ett perfekt formulerat matematiskt problem är alla givna uppgifter och alla villkorets delar nödvändiga och man måste ta hänsyn till dem. I praktiska problem har vi en mångfald data och villkor. Vi tar hänsyn till se många vi kan, men ibland är vi tvungna att bortse från några av dem. Ta fallet med dammbyggaren. Han tar hänsyn till allmänhetens intresse och viktiga ekonomiska intressen men han måste kanske bortse från vissa klagomål och smärre olägenheter. Mängden data i hans problem är i egentlig mening outtömlig. Han skulle t.ex. gärna vilja ha litet fler geologiska data om marken där han måste lägga grunden, men förr eller senare måste lian sluta att samla in geologiska data fastän en viss osäkerhetsmarginal de oundvikligen kvarstår.

Använde du alla de givna uppgifterna? Använde du hela villkoret? Vi kan inte undvika dessa frågor när vi sysslar med rent matematiska problem. I praktiska problem bör vi emellertid modifiera frågorna. Använde du alla data som väsentligt skulle kunna bidra till lösningen? Använde du alla de villkor som väsentligt skulle kunna påverka lösningen? Vi gör en värdering av tillgänglig relevant information, vi samlar mer information om se behövs. Men förr eller senare måste vi stoppa, vi måste dra en gräns någonstans, det kan inte hjälpas att vi måste försumma vissa saker. "Om du vill segla utan risk skall du aldrig ge till sjöss," Mycket ofta finns det överskottsdata som inte har något väsentligt inflytande på lösningens slutgiltiga form.

4. Konstruktörerna av forntida egyptiska dammar var tvungna att lita på sunt förnuft och erfarenhet, någonting annat hade de inte att tillgå. En modern ingenjör kan inte lita enbart på sunt förnuft, speciellt inte om han projekterar en ny och djärv konstruktion. Han måste beräkna påfrestningarna i dammens inre, han måste beräkna motståndskraften hos den projekterade dammen. För att göra detta måste han tillämpa elasticitetsteorin (som kan tillämpas ganska väl på betongkonstruktioner). För att använda denna teori behöver han en hel del matematik. De praktiska ingenjörsproblemen leder till matematiska problem.

Detta matematiska problem är för tekniskt för att diskuteras här. Vi skall bara göra en rent allmän kommentar. När vi ställer upp och löser matematiska problem som härrör ur praktiska problem nöjer vi oss vanligen med en approximation. Vi är tvungna att bortse från vissa av det praktiska problemets mindre viktiga data och villkor. Därför är det rimligt att tillåta en viss bristande noggrannhet i beräkningarna, speciellt om vi kan vinna i enkelhet vad vi förlorar i noggrannhet.

5. Mycket skulle kunna sägas om approximationer som förtjänar allmänt intresse. Vi förutsätter här emellertid inga specialiserade matematiska kunskaper och begränsar oss därför till ett enda intuitivt och lärorikt exempel.

Att rita geografiska kartor är ett viktigt praktiskt problem. När vi utformar en karta antar vi ofta att jorden är ett klot. Nu är detta bara ett approximativt antagande och överensstämmer inte helt med verkligheten. Jordytan är inte alls någon matematiskt definierad yta och vi vet med säkerhet att jorden är tillplattad vid polerna. Om vi emellertid antar att jorden är sfärisk kan vi rita en karta mycket lättare. Vi vinner mycket i enkelhet och förlorar obetydligt i noggrannhet. Låt oss föreställa oss en stor boll som har exakt samma form som jorden och en diameter av 3 m vid ekvatorn. Avståndet mellan polerna på en sådan boll är då något mindre än 3 m eftersom jorden är tillplattad, men endast omkring 1 cm mindre. Ett klot utgör alltså en god approximation.

Reductio ad absurdum och indirekt bevis är skilda men besläktade förfaranden.

Reductio ad absurdum visar felaktigheten i ett antagande genom att ur detta härleda en uppenbar orimlighet, en absurditet. "Att reducera till en absurditet" är en matematisk process men den har en viss likhet med ironi, som är satirikerns favoritmedel. Ironin antar till synes en viss åsikt och betonar den och överdriver den tills den leder till en uppenbar absurditet.

Indirekt bevis bevisar sanningen i ett påstående genom att visa oriktigheten i det motsatta antagandet. Indirekt bevis har alltså en viss likhet med politikers knep att föra fram en egen kandidat genom att svärta ner motståndarens rykte.

Både reductio ad absurdum och indirekt bevis är effektiva medel när det gäller att avslöja något och de framträder på ett naturligt sätt i ett uppmärksamt sinne. Ändå finns det några filosofer och många nybörjare som inte tycker om dem, vilket är förståeligt. Satiriska människor och sluga politiker tilltalar inte heller alla människor. Vi skall först illustrera båda metodernas effektivitet genom exempel och därefter diskutera invändningar mot dem.

1. Reductio ad absurdum. Bilda med hjälp av alla siffror 0 - 9, som vardera skall användas endast en gång, de tal vars summa är exakt 100.

Vi kan lära oss en del genom att försöka lösa detta problem, vars innebörd behöver förklaras ytterligare.

Vad är det som söks? Några tal. (Med tal menar vi här naturligtvis vanliga heltal.)

Vad är det som är givet? Talet 100.

Hur lyder villkoret? Villkoret har två delar. För det första måste vi använda var och en av de tio siffrorna 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9 och vi får använda dem endast en gång när vi bildar talen. För det andra skall summan av alla dessa tal vara lika med 100.

Behåll endast en del av villkoret, förkasta den andra delen. Att uppfylla enbart den första delen är lätt. Ta talen 19, 28, 37, 46, 50. Varje siffra uppträder bara en gång. Men den andra delen av villkoret är förstås inte uppfylld. Summan av dessa tal är 180, inte 100. Men vi skulle väl kunna åstadkomma något bättre. Försöka duger. Ja, ty 19 + 28 + 30 + 7 + 6 + 5 + 4 = 99. Första delen av villkoret är uppfylld och andra delen är nästan uppfylld. Vi har 99 i stället för 100. Å andra sidan kan vi naturligtvis lätt uppfylla den andra delen om vi förkastar den första: 19 + 28 + 31 + 7 + 6 + 5 + 4 = 100. Den första delen är inte uppfylld eftersom siffran 1 uppträder två gånger och 0 inte alls. Men vi försöker igen.

Efter några misslyckade försök kanske vi emellertid börjar misstänka att det inte alls är möjligt att få fram summan 100 på det sätt som erfordras. Slutligen kanske då följande problem uppkommer: Visa att det är omöjligt att på samma gång uppfylla båda delarna av det givna villkoret.

Fastän många bra elever kanske skulle finna att det här problemet går över deras förstånd är lösningen mycket enkel om man bara har den rätta inställningen. Vi måste undersöka den hypotetiska situation i vilken båda delarna av villkoret är uppfyllda.

Vi misstänker att denna situation i själva verket inte kan uppkomma och vår misstanke har en viss grund eftersom den är baserad på erfarenheter från våra misslyckade försök. Men låt oss förutsättningslöst undersöka den situation i vilken båda delarna av villkoret hypotetiskt, antagligen, är uppfyllda. Låt oss alltså föreställa oss en mängd tal vilkas summa är 100. Det måste i så fall röra sig om tal med en eller två siffror. Det finns tio siffror och dessa tio siffror måste alla vara olika eftersom var och en av siffrorna 0, 1, 2, …, 9 får förekomma endast en gång. Följaktligen måste summan av alla tio siffrorna bli 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.

Några av dessa siffror måste representera ental och andra tiotal. Det fordras litet skarpsinne för att komma på tanken att summan av de siffror som representerar tiotal kanske har någon betydelse. Låt t beteckna denna summa. Då är summan av de återstående siffrorna, som representerar ental, 45 - t. Summan av alla talen i mängden måste därför vara 10t + (45 - t) = 100. Här har vi en ekvation för att bestämma t. Den är av första graden och ger t = 55/9.

Men här är någonting som inte stämmer. Värdet av t, som vi har funnit, är inget heltal och t måste naturligtvis vara ett heltal. Genom att utgå från antagandet att båda delarna av det givna villkoret kan uppfyllas samtidigt har vi nu kommit till en uppenbar orimlighet. Hur skall vi kunna förklara det? Vårt ursprungliga antagande måste vara felaktigt. Båda delarna av villkoret kan inte uppfyllas samtidigt. Och så har vi nått vårt mål. Vi har lyckats visa att villkorets två delar är oförenliga med varandra.

Vårt resonemang är ett typiskt reductio ad absurdum.

2. Kommentarer. Vi gör en tillbakablick på det föregående resonemanget för att bättre förstå tankegången i det hela.

Vi vill visa att det är omöjligt att uppfylla ett visst villkor, dvs. att den situation aldrig kan uppkomma i vilken villkorets alla delar samtidigt är uppfyllda. Men om vi ännu inte har bevisat någonting måste vi tänka oss möjligheten av att situationen skulle kunna uppkomma. Endast genom att öppet studera den hypotetiska situationen och undersöka den noga kan vi hoppas att upptäcka någon avgjort felaktig punkt i denna. Och vi måste sätta fingret på en sådan öm punkt om vi slutgiltigt vill visa att situationen är omöjlig. Härav kan vi se att den procedur som lyckades så bra i vårt exempel är allmänt användbar. Vi måste alltså undersöka den hypotetiska situation där alla villkorets delar är uppfyllda, även om en sådan situation verkar ytterst osannolik.

Den erfarne läsaren kanske här lägger märke till en annan sak. Det viktigaste steget i vår procedur var att vi ställde upp en ekvation för t. Nu skulle vi ha kunnat komma fram till samma ekvation utan att misstänka att det var något fel med villkoret. Om vi vill ställa upp en ekvation måste vi uttrycka med matematiskt språk att alla delar av villkoret är uppfyllda, fastän vi ännu inte vet om det verkligen är möjligt att uppfylla alla dessa delar samtidigt.

Vår procedur är förutsättningslös. Vi kanske hoppas att finna det okända som uppfyller villkoret eller vi kanske hoppas visa att villkoret inte kan uppfyllas. Det spelar liten roll i ett avseende. Om undersökningen utförs rätt börjar den i båda fallen på samma sätt, nämligen genom att vi betraktar den hypotetiska situation i vilken villkoret är uppfyllt, och den visar först senare vilken förmodan som är riktig.

Jämför Figurer, 2, och också Pappus. En analys som slutar med att en viss sats vederläggs eller att ett "sökproblem" inte har någon lösning är i själva verket exempel på reductio ad absurdum.

3. Indirekt bevis. Primtal är talen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, … som inte kan uppdelas i mindre faktorer fastän de är större än 1. (Det sista villkoret utesluter talet 1, vilket naturligtvis inte kan uppdelas i mindre faktorer men har en annan egenskap och inte bör räknas till primtalen.) Primtalen är de "yttersta beståndsdelar" som alla heltal (större än 1) kan uppdelas i. Exempelvis är 630 = 2·3·3·5·7 uppdelat i en produkt av 5 primtal.

Är serien av primtal oändlig eller slutar den någonstans? Det är naturligt att misstänka att primtalsserien inte är ändlig. Om den slutar någonstans skulle alla heltal kunna uppdelas i ett ändligt antal yttersta beståndsdelar och vår värld skulle tyckas oss så att säga "alltför fattig". Alltså uppstår problemet att visa att det existerar oändligt många primtal.

Detta problem skiljer sig mycket från elementära matematiska problem av det vanliga slaget och verkar först helt otillgängligt. Ändå är det, som vi sade, ytterst osannolikt att det skulle finnas ett största primtal, t.ex. P. Varför är det så osannolikt?

Låt oss närmare betrakta den osannolika situationen, den hypotetiska, påstådda, antagna situationen, att det finns ett största primtal P. Då skulle vi kunna skriva ner en fullständig serie primtal 2, 3, 5, 7, 11, …, P. Varför är detta så osannolikt? Vad är det som är fel? Kan vi peka på någonting som uppenbarligen är fel? Ja, det kan vi. Vi kan bilda talet Q = (2·3·5·7·11·…·P) + 1. Eftersom detta tal Q är större än P kan det enligt påståendet inte vara något primtal. Följaktligen måste Q vara delbart med något primtal. Nu har vi emellertid inga andra primtal till vårt förfogande än talen 2, 3, 5, …, P, men om Q divideras med något av dessa tal så blir resten 1. Q är alltså inte delbart med något enda av de nämnda primtalen, som vi hypotetiskt antog vara alla primtal. Men här har vi någonting som uppenbarligen är fel. Q måste antingen vara ett primtal eller också måste det vara delbart med något primtal. Genom att utgå från antagandet att det finns ett största primtal P har vi kommit till en uppenbar motsägelse. Hur skall vi kunna förklara detta? Vårt ursprungliga antagande måste vara felaktigt. Det kan inte finnas något största primtal P. Därmed har vi alltså lyckats bevisa att primtalsserien är oändlig.

Vårt bevis är ett typiskt indirekt bevis. (Det är också ett berömt bevis, som härrör från Euklides; se Teorem 20 i Bok IX i Elementa.)

Vi har bevisat vår sats (att primtalsserien aldrig upphör) genom att vederlägga dess motsats (att primtalsserien slutar någonstans), vilken vi har vederlagt genom att ur den härleda en uppenbar motsägelse. Vi har alltså kombinerat indirekt bevis med reductio ad absurdum. Denna kombination är också mycket typisk.

4. Invändningar. De metoder vi studerat har mött kraftigt motstånd. Många invändningar har gjorts, vilka möjligen endast är olika former av samma fundamentala invändning. Vi kommer här att diskutera en "praktisk" form av invändning som ligger på vår nivå.

Att komma på ett icke uppenbart bevis är en betydande intellektuell prestation, men också att lära sig ett sådant bevis eller t.o.m. att förstå det fullständigt innebär en viss intellektuell ansträngning. Naturligt nog vill vi ha något utbyte av våra ansträngningar och självklart skall det vi behåller i minnet vara sant och riktigt och inte felaktigt eller absurt.

Men det verkar svårt att bevara någonting som är sant vid reductio ad absurdum. Metoden börjar med ett felaktigt antagande och härleder ur detta slutsatser som likaledes är felaktiga, kanske bara tydligare, tills den kommer fram till en sista slutsats som är uppenbart felaktig. Om vi inte vill lägga osanningar på minnet bör vi glömma allting så fort som möjligt, men detta är knappast möjligt eftersom vi måste komma ihåg alla punkter klart och korrekt medan vi studerar beviset.

Invändningen mot indirekta bevis kan nu kortfattat formuleras så här. När vi lyssnar till ett sådant bevis måste vi hela tiden koncentrera uppmärksamheten på ett felaktigt antagande som vi bör glömma bort och inte på den sanna satsen som vi bör lägga på minnet.

Om vi vill göra en rättvis bedömning av det berättigade i dessa invändningar måste vi skilja mellan två olika användningar av reductio ad absurdum — som ett medel för undersökning och som en framställningsmetod — och även göra samma åtskillnad beträffande det indirekta beviset.

Det måste erkännas att reductio ad absurdum som framställningsmetod betraktad inte är någon ren välsignelse. Metoden kan verkligen, speciellt om den är lång, bli en ren pina för läsaren eller lyssnaren. Alla de härledningar vi undersöker efter varandra är korrekta men alla de situationer vi måste möta är omöjliga. Till och med det rent språkliga uttryckssättet kan bli tröttsamt om vi vill understryka, vilket vi bör, att allting baseras på ett ursprungligt antagande. Orden "hypotetisk", "antagen", "påstådd" måste återkomma ständigt eller något annat hjälpmedel måste användas hela tiden. Vi vill förkasta och glömma situationen som omöjlig men vi måste hålla fast vid den och undersöka den som bas för nästa steg, och denna inre strid kan bli besvärlig i det långa loppet.

Ändå skulle det vara dumt att förkasta reductio ad absurdum som ett medel att göra upptäckter. Metoden kan infinna sig helt naturligt och leda till ett avgörande när alla andra metoder verkar uttömda, något som de föregående exemplen kanske visade.

Det behövs litet erfarenhet för att inse att våra två påståenden egentligen inte strider mot varandra. Erfarenheten visar att det vanligtvis är lätt att omvandla ett indirekt bevis till ett direkt bevis eller att ordna om ett bevis som baseras på ett långt reductio ad absurdum till en trevligare form, från vilken detta reductio ad absurdum t.o.m. kan försvinna fullständigt (eller förkortas till några få slående meningar).

Om vi, kort uttryckt, vill utnyttja vår förmåga helt och hållet måste vi känna till både reductio ad absurdum och indirekt bevis. När vi emellertid har lyckats att härleda ett resultat med hjälp av någon av dessa metoder får vi inte glömma att ta en titt på lösningen igen och fråga: Kan du härleda resultatet på något annat sätt?

Låt oss med exempel illustrera vad vi har sagt.

5. Att ordna om ett reductio ad absurdum. Vi går tillbaka

till resonemanget i avsnitt 1. Det utgick från en situation som till slut visade sig vara omöjlig. Låt oss emellertid plocka ut en del av argumentationen som är oberoende av det ursprungliga felaktiga antagandet och som innehåller positiv information. Om vi åter betraktar det vi gjort kanske vi inser att allt otvivelaktigt är korrekt så här långt: Om en mängd tal bestående av en eller två siffror skrivs ut så att var och en av de tio siffrorna uppträder endast en gång, så måste summan av mängden ha formen 10t + (45 - t) = 9(t + 5). Denna summa är alltså delbar med 9. Det givna problemet kräver emellertid att summan skall vara lika med 100. Är detta möjligt? Nej, det är det inte, eftersom 100 inte är delbart med 9.

Det reductio ad absurdum som ledde till att vi kom på det riktiga argumentet finns inte med i vår nya framställning.

Den läsare som känner till "9-regeln" kan nu se hela resonemanget direkt. (För att ett tal skall vara delbart med 9 måste även dess tvärsumma vara det.)

6. Att omvandla ett indirekt bevis. Vi går tillbaka till resonemanget i avsnitt 3. Om vi omsorgsfullt omprövar vad vi har gjort där kanske vi finner delar av argumentationen som inte är beroende av något felaktigt antagande, men det bästa uppslaget får vi nog genom att tänka över innebörden av själva det ursprungliga problemet.

Vad menar vi när vi säger att primtalsserien aldrig slutar? Tydligen just detta: När vi har skrivit upp en viss mängd primtal, som t.ex. 2, 3, 5, 7, 11, …, P där P är det största primtal vi funnit hittills, finns det alltid ytterligare ett primtal. Vad måste vi alltså göra för att bevisa att det finns ett oändligt antal primtal? Vi måste hitta en metod att finna ett primtal skilt från alla andra primtal vi hittills funnit. Alltså reduceras vårt "bevisproblem" i själva verket till ett "sökproblem": Om primtalen 2, 3, 5, …, P är givna, finn ett nytt primtal N som är skilt från alla givna primtal.

När vi har formulerat om vårt ursprungliga problem i denna nya form har vi tagit det avgörande steget. Det är nu relativt lätt att se hur man skall använda de väsentliga delarna av vår tidigare argumentation för det nya ändamålet. Talet Q = (2·3·5·7·11·…·P) + 1 är naturligtvis odelbart med ett primtal. Låt oss nu för N välja — och detta är idén — vilken som helst primtalsdelare till Q (t.ex. den minsta). (Om Q råkar vara ett primtal är självfallet N = Q.) Om vi nu dividerar Q med något av primtalen 2, 3, 5, …, P får vi uppenbarligen resten 1, och därför kan inget av dessa tal vara N, som ju skall vara en primtalsfaktor till Q. Men detta är allt vi behöver: N är ett primtal och det är skilt från alla andra hittills funna primtal 2, 3, 5, 7, 11, …, P.

Detta bevis ger en direkt metod att förlänga primtalsserien hur mycket som helst, utan gräns. Det finns ingenting som är indirekt i det, ingen omöjlig situation behöver studeras. Ändå är det i grund och botten samma bevis som vårt tidigare indirekta bevis, som vi nu har lyckats formulera om.

Regler för undervisning. Den första regeln för undervisning är att man måste kunna det som man skall lära ut. Den andra regeln är att man bör kunna litet mer än det man skall lära ut.

Det viktigaste kommer först. Författaren av denna bok anser inte att alla regler för hur lärare skall uppträda är helt ointressanta. I annat fall skulle han inte ha vågat skriva en hel bok om hur lärare och elever skall uppträda. I alla händelser måste man komma ihåg att en matematiklärare måste kunna litet matematik och att lärare som vill ge sina elever den rätta inställningen till problem också själv måste ha denna inställning.

Regler för uppträdande. Den första regeln är att ha någonting att säga. Den andra regeln är att ha kontroll över sig själv när man händelsevis har två saker att säga. Säg först den ena, sedan den andra, men inte båda samtidigt.

Regler för upptäckande. Den första regeln är att ha gott huvud och tur. Den andra regeln är att sitta stilla och vänta tills man får en ljus idé.

Det kan vara lämpligt att något bryskt bli påmind om att vissa förhoppningar är fåfänga. Ofelbara regler för upptäckande, som skulle leda till lösningen av alla möjliga matematiska problem, skulle vara mer eftersträvansvärda än de vises sten som förgäves har sökts av alkemisterna. Sådana regler skulle göra underverk men trolldom existerar inte. Att finna osvikliga regler som kan användas på alla slags problem är en gammal filosofisk dröm, men denna dröm kommer aldrig att bli någonting annat än en dröm.

Förnuftig heuristik kan inte sträva efter osvikliga regler. Men den kan syfta till att studera processer (tankeoperationer, åtgärder, steg) som normalt är användbara när man löser problem. Sådana processer används av varje förnuftig person som är tillräckligt intresserad av sitt problem. De kan lockas fram med hjälp av vissa stående frågor och uppmaningar som intelligenta människor kan rikta till sig själva och intelligenta lärare till sina elever. En förteckning med sådana frågor och uppmaningar formulerade med så stor allmängiltighet som möjligt och logiskt ordnade kanske inte är så eftersträvansvärd som de vises sten, men den kan åstadkommas. Vår lista utgör en sådan förteckning.

Rita en figur. Se Figurer. Inför lämpliga beteckningar; se Notation.

Rutinproblem kan man kalla problemet att lösa ekvationen x² - 3x + 2 = 0, om lösningen till en andragradsekvation redan är genomgången och illustrerad så att eleven inte har någonting annat att göra än att sätta in talen -3 och 2 i stället för vissa bokstäver som uppträder i den allmänna lösningen. Även om man inte har löst andragradsekvationer allmänt i "bokstäver" men tidigare har löst ett antal liknande andragradsekvationer med numeriska koefficienter kan man kalla problemet ett rutinproblem. Helt allmänt är ett problem ett rutinproblem om det kan lösas antingen genom insättning av vissa värden i ett tidigare löst allmänt problem eller genom att man steg för steg utan spår av originalitet följer något slitet mönsterexempel. Om läraren ger ett rutinproblem så ger han eleven nästan gratis ett omedelbart och bestämt svar på frågan: Känner du till något närbesläktat problem? Eleven behöver alltså ingenting annat än litet omsorg och tålamod för att följa en tillrättalagd föreskrift och han får ingen möjlighet att använda sitt omdöme eller sin uppfinningsförmåga.

Rutinproblem, t.o.m. många rutinproblem, kan vara nödvändiga att använda i matematikundervisning, men att inte låta eleverna lösa några andra problem vore oförlåtligt. Att lära ut hur matematiska rutinoperationer rent mekaniskt skall utföras och ingenting annat ligger lågt under kokboksnivån, ty kokboksrecept överlåter åtminstone något åt kockens fantasi och omdöme, men det gör inte matematiska recept.

Skulle du kunna formulera om problemet? Skulle du kunna formulera om det ytterligare? Dessa frågor syftar till att på lämpligt sätt Variera problemet.

Gå tillbaka till definitionen. Se Definition.

Skulle du kunna härleda någonting användbart ur de givna uppgifterna? Vi har framför oss ett olöst problem, en öppen fråga. Vi måste finna sambandet mellan det som är givet och det som söks. Vi kan föreställa oss det olösta problemet som ett tomrum mellan det som är givet och det som söks, såsom ett djup som vi måste bygga en bro över. Vi kan börja bygga vår bro från vilken sida som helst, från det som söks eller från det som är givet.

Betrakta den obekanta! Försök finna ett känt problem med samma eller liknande obekanta storhet. Detta uppmanar oss att börja arbetet med den obekanta variabeln.

Betrakta det som är givet! Skulle du kunna härleda någonting användbart ur de givna uppgifterna? Detta uppmanar oss att börja arbetet med det som är givet.

Det förefaller som om det skulle vara att föredra att i resonemanget utgå från den obekanta storheten (se Pappus och Att arbeta baklänges). Men det alternativa sättet, att utgå från de givna uppgifterna, kan också lyckas. Man bör ofta försöka det och det förtjänar att illustreras.

Fig. 22

Exempel. Tre punkter A, B och C är givna. Drag en linje genom A som går mellan B och C på samma avstånd från B som från C.

Vad är det som är givet? Tre punkter, A, B och C, är kända till sina lägen. Vi ritar en figur som innehåller de givna storheterna (fig. 22).

Vad är det som söks? En rät linje.

Hur lyder villkoret? Den sökta linjen skall gå genom A och mellan B och C lika långt från B och C.

Vi förenar det som söks och det som är givet i en figur som uppvisar i vilken relation dessa storheter skall stå till varandra (fig. 23). Uppslaget till denna figur kommer från definitionen av avståndet från en punkt till en rät linje och visar de räta vinklar som är förbundna med denna definition.

	Fig. 23
	Fig. 24

Figuren är fortfarande "för tom" så som den är ritad. Sambandet mellan den sökta linjen och de givna punkterna A, B, C är fortfarande otydligt. Figuren behöver någon hjälplinje, något tillägg — men vad? En elev kan vara tämligen god och ändå köra fast på detta. Naturligtvis finns det åtskilligt som kan prövas, men den bästa fråga som kan hjälpa honom är: Skulle du kunna härleda någonting användbart ur de givna uppgifterna?

Vad är det som är givet egentligen? De tre punkterna i fig. 22, ingenting annat. Vi har ännu inte använt punkterna B och C tillräckligt. Vi måste plocka fram någonting användbart med hjälp av dem. Men vad kan man göra med enbart två punkter? Man kan förena dem med en rät linje. Så vi drar den räta linjen i fig. 24.

Om vi lägger fig. 23 och 24 ovanpå varandra ser vi lösningen omedelbart. Det finns nu två räta trianglar, som är kongruenta, och det finns en ny skärningspunkt som löser hela problemet.

Specialisering innebär att gå över från att betrakta en given mängd till att betrakta en mindre mängd eller enbart ett element som finns i den givna mängden. Specialisering är ofta användbar vid lösningen av problem.

1. Exempel. Låt i en triangel H beteckna den största höjden, r radien i den inskrivna och R radien i den omskrivna cirkeln. Då gäller att r + R ≤ H.

Vår uppgift är att bevisa eller att vederlägga denna sats.^|13| Vi har ett "bevisproblem".

Denna sats är av ovanligt slag. Vi kan knappast komma på någon sats om trianglar med ett liknande påstående. Om vi inte kommer på någonting annat så kan vi pröva något specialfall av detta ovanliga påstående. För det bäst kända specialfallet, som avser den liksidiga triangeln, gäller att r = H/3 och R = 2H/3 så påståendet stämmer i detta fall.

Har vi inte fått någon annan idé kan vi pröva det mera långt gående specialfallet med likbenta trianglar. Utseendet på en likbent triangel varierar med toppvinkeln och det finns två extremfall (eller gränsfall). Det ena inträffar när toppvinkeln blir 0°, det andra när den blir 180°. I det första gränsfallet försvinner basen i den likbenta triangeln och uppenbarligen gäller att r = 0 och R = H/2. Påståendet är alltså verifierat. I det andra gränsfallet försvinner emellertid de tre höjderna och r = 0, R = ∞, H = 0. Påståendet är alltså inte verifierat. Vi har visat att den givna satsen är falsk, och därmed har vi löst vårt problem.

Det är för övrigt klart att påståendet också är falskt för likbenta trianglar vilkas toppvinkel är nära 180°, så vi kan "officiellt" bortse från gränsfallen som kanske kan förefalla inte helt "ortodoxa".

2. "Undantaget bekräftar regeln." Vi måste uppfatta detta välkända ordspråk som ett skämt, som driver med vagheten i en viss sorts logik. Allvarligt talat är ett undantag tillräckligt för att vederlägga varje föregiven regel eller generellt påstående. Det vanligaste och i vissa avseenden det bästa sättet att vederlägga ett sådant påstående eller en sådan regel är just att visa ett element som inte passar in. Ett sådant element kallas ett motexempel av en del författare.

Ett visst generellt påstående gäller en viss mängd element. För att vederlägga påståendet specialiserar vi. Ur mängden plockar vi fram ett element som inte passar in. Det anförda exemplet under avsnitt 1 visar hur detta görs, Vi kan börja med att undersöka vilket enkelt specialfall som helst, dvs. vilket mer eller mindre slumpmässigt valt element som helst som vi lätt kan pröva. Om prövningen visar att fallet inte är förenligt med det generella påståendet, så är påståendet vederlagt och vi har löst vår uppgift. Om det undersökta elementet emellertid stämmer med påståendet kanske undersökningen ger oss en ledtråd i den ena eller andra riktningen. Vi kanske får intrycket att påståendet verkligen kan vara sant och kanske också en antydan om i vilken riktning vi skall leta efter ett bevis. Eller vi kanske som i vårt exempel under avsnitt 1 får en antydan om i vilken riktning vi skall leta efter ett motexempel, dvs. vilka andra specialfall vi bör pröva. Vi kanske kan modifiera det fall vi just undersökt, variera det, undersöka något mer långtgående fall, leta efter gränsfall såsom under avsnitt 1.

Gränsfall är speciellt lärorika. Om ett generellt påstående anses tillämpbart på alla däggdjur måste det vara tillämpbart även på ett sådant ovanligt däggdjur som valen. Låt oss inte glömma detta extremfall med valen. Om vi undersöker det kanske vi kan vederlägga det generella påståendet. Det finns stora möjligheter till det eftersom sådana extremfall lätt glöms bort av dem som generaliserar. Om vi emellertid finner att det generella påståendet verifieras också i detta extrema fall, kommer det induktionsbevis som härletts ur specialfallet att bli särskilt starkt, just därför att utsikterna att vederlägga det var så stora. Det kan därför vara frestande att formulera om det ordspråk som vi började med: "Förväntade undantag befäster regeln."

3. Exempel. Antag att vi känner hastigheten hos två fartyg och deras positioner i ett visst ögonblick. Båda fartygen rör sig på rätlinjig kurs och med konstant hastighet. Sök avståndet mellan de två skeppen när de är närmast varandra.

Vad är det som söks? Det kortaste avståndet mellan två kroppar i rörelse. Vi kan betrakta kropparna som materiella punkter.

Vad är det som är givet? Begynnelselägena för och hastigheten hos de två materiella punkterna. Hastigheterna är konstanta både till storlek och riktning.

Hur lyder villkoret? Avståndet skall beräknas i det ögonblick det är som minst, dvs. i det ögonblick då de två rörliga punkterna (fartygen) är närmast varandra.

Fig. 25

Rita en figur. Inför lämpliga beteckningar. I fig. 25 markerar punkterna A och B de givna begynnelselägena för de två fartygen. De riktade linjesegmenten (vektorerna) AP och BQ representerar de givna hastigheterna så att det ena fartyget rör sig utefter den räta linjen mellan punkterna A och P och tillryggalägger sträckan AP på en tidsenhet. Det andra skeppet rör sig på samma sätt utefter den räta linjen BQ.

Vad är det som söks? Det kortaste avståndet mellan de två fartygen om det ena rör sig utefter AP och det andra utefter BQ.

Vi har nu klart för oss vad vi vill finna. Ändå kanske vi ännu inte vet hur vi skall finna det enbart genom att använda elementära medel. Problemet är inte så lätt och svårigheten har en speciell nyans som vi kan försöka uttrycka genom att säga att "det är för mycket som varierar". Begynnelselägena, A och B, och hastigheterna, AP och BQ, kan ges på skilda sätt. I själva verket kan vi välja de fyra punkterna A, B, P och Q helt godtyckligt. Men hur de än ligger så måste den sökta lösningen vara tillämpbar på situationen, och vi kan ännu inte se hur vi skall kunna anpassa samma lösning till alla dessa möjligheter. Ur en sådan känsla av "det är för mycket som varierar" kan slutligen följande frågor uppkomma:

Kan du komma på något närbesläktat problem som är lättare att angripa? Ett mer speciellt problem? Ja visst. Vi har ett gränsfall där en av hastigheterna är noll. Fartyget i B kan t.ex. ligga för ankar och då sammanfaller Q med B. Det kortaste avståndet från fartyget i vila till det fartyg som rör sig är helt enkelt normalen mot den räta linje som det senare fartyget rör sig efter.

4. Om denna idé dyker upp tillsammans med en föraning att det ligger mer bakom och med en känsla att detta extrema specialfall (som skulle kunna tyckas för enkelt för att vara relevant) kan komma att spela en roll — ja, då är det verkligen fråga om en ljus idé.

Här är ett närbesläktat problem, liknande det specialfall du nyss har löst. Skulle du kunna använda det? Skulle du kunna använda dess resultat? Skulle du kunna införa någon hjälpkonstruktion så att du kan använda det? Det borde användas, men hur? Hur kan resultatet från fallet med B i vila användas i det fall där B rör sig? Vila är ett specialfall av rörelse. Rörelse är relativ - och vilken den givna hastigheten på B än må vara kan jag följaktligen betrakta B såsom varande i vila. Här är idén klarare formulerad: Om jag tilldelar hela systemet, bestående av de båda fartygen, samma likformiga rörelse förändras inte de relativa lägena. De relativa avstånden förblir desamma och det blir också speciellt det kortaste relativa avståndet mellan de två fartygen, vilket är vad som söks i problemet. Jag kan då lägga till en rörelse som reducerar hastigheten hos det ena fartyget till noll, och därmed reduceras problemets allmänna fall till det specialfall som vi just har löst. Låt mig lägga till en hastighet, motsatt BQ men lika stor som BQ, både till BQ och AP. Detta är den hjälpkonstruktion som gör det möjligt att använda specialfallets resultat.

Fig. 26

Se fig. 26 som ger konstruktionen av det kortaste avståndet BS.

5. Den beskrivna lösningen (avsnitt 3 och 4) har ett logiskt mönster som förtjänar att analyseras och som bör läggas på minnet.

I avsikt att lösa det ursprungliga problemet (första stycket i avsnitt 3) löste vi först ett annat problem som lämpligen skulle kunna kallas ett hjälpproblem (sista stycket i avsnitt 3). Detta hjälpproblem är ett specialfall av det ursprungliga problemet (det extrema specialfall i vilket ett av de två fartygen befinner sig i vila). Sedan det ursprungliga problemet formulerats uppfann vi hjälpproblemet under lösningens gång. Det ursprungliga problemet verkade svårt, lösningen av hjälpproblemet kom omedelbart. Hjälpproblemet var, som ett specialfall, i själva verket mycket mindre ambitiöst än det ursprungliga problemet. Hur är det då möjligt att vi kunde lösa det ursprungliga problemet med dess hjälp? Jo, genom att vi när vi reducerade det ursprungliga problemet till hjälpproblemet lade till en högst väsentlig iakttagelse, nämligen den om rörelsers relativitet.

Vi lyckades lösa vårt ursprungliga problem tack vare två operationer. För det första konstruerade vi ett användbart hjälpproblem. För det andra upptäckte vi det passande tillägg vi måste göra för att komma från hjälpproblemet till det ursprungliga problemet. Vi löste det givna problemet i två steg liksom vi kan hoppa över en bäck i två steg förutsatt att vi har turen att hitta en lämplig sten i mitten som vi kan sätta foten på.

För att summera: Vi använde det lättare, mindre ambitiösa, det speciella hjälpproblemet som en språngbräda när vi löste det svårare, ambitiösare, allmännare, ursprungliga problemet.

6. Specialisering har många andra användningar som vi inte kan diskutera här. Det skall bara nämnas att processen kan vara användbar för att pröva en lösning (Kan du kontrollera resultatet?, 2).

Ett något primitivt slag av specialisering kan ofta användas av läraren. Den består i att man ger någon konkret tolkning av problemets abstrakta matematiska delar. Om problemet t.ex. innehåller en rektangulär parallellepiped kan läraren ta klassrummet som ett exempel (avsnitt 8). I analytisk rymdgeometri kan ett hörn av klassrummet tjäna som origo, golvet och två väggar som koordinatplan, två horisontella och en vertikal kant av rummet som koordinataxlar. Om läraren vill åskådliggöra begreppet rotationsyta kan han rita en kurva med krita på dörren och sedan öppna den sakta. Naturligtvis är detta enkla knep men ingenting bör försummas som har den minsta möjlighet att klargöra matematiken för eleverna. Eftersom matematik är en mycket abstrakt vetenskap bör den presenteras på ett mycket konkret sätt.

Symmetri har två betydelser, en mera vanlig, speciell, geometrisk betydelse och en mindre vanlig, allmän, logisk betydelse.

Elementär rymdgeometri skiljer mellan två slag av symmetri, symmetri med avseende på ett plan (kallat symmetriplan) och symmetri med avseende på en punkt (kallad symmetricentrum). Människans kropp tycks vara något så när symmetrisk men är det i själva verket inte. Många inre organ är helt osymmetriskt placerade. En staty kan vara helt symmetrisk med avseende på ett vertikalt plan som gör att statyns två halvor tycks fullständigt "utbytbara".

I en mer allmän betydelse är någonting symmetriskt om det har utbytbara delar. Det finns många slag av symmetri. De skiljer sig i antalet utbytbara delar och i de operationer som låter delarna byta plats. En kub har exempelvis hög symmetri. Dess sex ytor är utbytbara mot varandra och detsamma gäller om dess åtta hörn liksom också om dess tolv kanter. Uttrycket yz + zx + xy är symmetriskt. Två vilka som helst av bokstäverna x, y, z kan byta plats utan att uttrycket ändras.

Symmetri i en allmän mening är viktig för vårt ämne. Os ett problem är symmetriskt i något avseende kan vi dra fördel av att betrakta de utbytbara delarna, och det lönar sig ofta att behandla dessa delar, som spelar samsa roll, på samma sätt (se Hjälpkonstruktioner, 3).

Försök att behandla allt som är symmetriskt på ett symmetriskt sätt. Förstör aldrig godtyckligt någon naturlig symmetri. Visst är vi ibland tvungna att behandla symmetriska ting på ett osymmetriskt sätt. Ett par handskar är förvisso symmetriska. Trots det behandlar man dem inte på ett symmetriskt sätt. Ingen tar på sig båda handskarna på en gång utan först den ena och sedan den andra.

Symmetri kan också användas för att kontrollera resultatet; se avsnitt 14.

Sökproblem, bevisproblem. Vi drar en parallell mellan dessa två slags problem.

1. Målet i ett "sökproblem" är att finna ett visst objekt, problemets okända storhet.

Den okända storheten kallas också "quaesitum" eller det som söks eller det som krävs. "Sökproblem" kan vara teoretiska eller praktiska, abstrakta eller konkreta, allvarliga problem eller blott och bart gåtor. Vi söker alla slag av okända storheter. Vi kan försöka finna, uppnå, förvärva, producera eller konstruera alla slags föremål som vi över huvud taget kan föreställa oss. Den okända storheten i kriminalromanens problem är mördaren. I ett schackproblem är den okända storheten ett drag med någon schackpjäs. I en del gåtor är den okända storheten ett ord. I vissa elementära algebraiska problem är den okända storheten ett tal. I geometriska konstruktionsproblem är den okända storheten en figur.

2. Målet i ett "bevisproblem" är att fullt bindande visa att ett visst klart formulerat påstående är sant eller också att det är falskt. Vi skall svara på frågan: Är detta påstående sant eller falskt? Och svaret måste vara bindande antingen vi visar att påståendet är sant eller att det är falskt.

Ett vittne försäkrar att svaranden stannade hemma en viss kväll. Det är domarens sak att avgöra om detta påstående är sant eller inte, och han måste dessutom kunna prestera goda skäl för sin slutsats. Följaktligen har domaren ett "bevisproblem". Ett annat "bevisproblem" är att "bevisa Pytagoras sats". Vi säger inte "bevisa eller vederlägg Pytagoras sats". I vissa avseenden skulle det vara bättre att ta med möjligheten av ett vederläggande i problemets formulering, sen vi kan bortse från detta här eftersom vi vet att möjligheterna för att Pytagoras sats skall vederläggas är ganska ringa.

3. Huvuddelarna i ett "sökproblem" är det som söks, det som är givet och villkoret.

Om vi skall konstruera en triangel med sidorna a, b, c är det som söks en triangel. Det som är givet är de tre längderna a, b, c, och triangeln krävs för att uppfylla villkoret att dess sidor har de givna längderna a, b, c. Om vi vill konstruera en triangel vars höjder är a, b, c tillhör det som söks samma kategori som förut. Samma saker är givna men det villkor som kopplar ihop det sökta och det givna är annorlunda.

4. Om ett "bevisproblem" är ett matematiskt problem av det vanliga slaget utgörs dess huvuddelar av antagandet och påståendet, som skall bevisas eller vederläggas.

"Om de fyra sidorna i en fyrhörning är lika stora, så är de två diagonalerna vinkelräta mot varandra." Den andra satsen som börjar med "så" utgör påståendet. Den första satsen som börjar med "om" utgör antagandet.

[Alla matematiska satser kan inte på ett naturligt sätt delas upp i ett antagande och ett påstående. Så är det t.ex. knappast möjligt att dela upp satsen "Det finns oändligt många primtal".]

5. Om man vill lösa ett "sökproblem" måste man veta, och veta mycket exakt, vad som utgör dess huvuddelar, vad som söks, vad som är givet och villkoret. Vår lista innehåller många frågor och uppmaningar som behandlar dessa delar.

Vad är det som söks? Vad är det som är givet? Hur lyder villkoret?

Dela upp villkorets olika delar.

Sök sambandet mellan det givna och det sökta.

Betrakta den obekanta! Försök finna ett känt problem med samma eller liknande obekanta storhet.

Behåll endast en del av villkoret, förkasta den andra delen. I vilken grad är den okända storheten då bestämd, hur kan den variera? Skulle du kunna härleda någonting användbart ur de givna uppgifterna? Kan du komma på andra data lämpliga för att bestämma den okända storheten? Skulle du kunna ändra den obekanta eller det givna, eller bådadera om nödvändigt, så att den nya okända storheten och de nya data ligger närmare varandra?

Använde du alla de givna uppgifterna? Använde du hela villkoret?

6. Om man vill lösa ett "bevisproblem" måste man veta, och veta mycket exakt, vad som är dess huvuddelar, antagandet och påståendet. Det finns användbara frågor och uppmaningar beträffande dessa delar som motsvarar de frågor och uppmaningar på vår lista som är speciellt anpassade till "sökproblem".

Vad har vi för antagande? Vad har vi för påstående?

Dela upp antagandets olika delar.

Sök sambandet mellan antagandet och påståendet.

Betrakta påståendet! Försök finna en känd sats med samma eller liknande påstående.

Behåll endast en del av antagandet, förkasta den andra delen. Gäller påståendet fortfarande? Skulle du kunna härleda någonting användbart ur antagandet? Kan du komma på något annat antagande ur vilket du lätt skulle kunna härleda påståendet? Skulle du kunna ändra på antagandet eller på påståendet, eller på bådadera om nödvändigt, så att det nya antagandet ligger närmare det nya påståendet?

Använde du hela antagandet?

7. "Sökproblem" spelar större roll i elementär matematik, "bevisproblem" i högre matematik. I denna bok betonas "sökproblem" framför problem av det andra slaget, men författaren hoppas kunna återställa jämvikten i en fylligare behandling av ämnet.

Tecken på framsteg. När Columbus och hans följeslagare seglade västerut över ett okänt hav blev de uppmuntrade varje gång de såg fåglar. De betraktade en fågel som ett gynnsamt tecken som tydde på närhet till land. Men i det avseendet blev de besvikna gång på gång. De höll utkik efter andra tecken också. De trodde att flytande havstång eller låga molnbankar kunde tyda på land men återigen blev de besvikna. En dag ökade tecknen emellertid. Torsdagen den 11 oktober 1492 "såg de strandvipor och grön vass nära fartyget. De som var på caravellen 'Pinta' såg ett sockerrör och en stör och de plockade upp en annan mindre käpp som såg ut att ha bearbetats med verktyg; sedan ytterligare en bit sockerrör, en landväxt och en litet bräda. Besättningen ombord på karamellen 'Nina' såg också tecken på land och en litet trädgren full med bär. Alla levde upp och jublade vid dessa tecken." Och nästa dag siktade de mycket riktigt land, det första ön i Nya Världen.

Vår uppgift må vara viktig eller oviktig, vårt problem av vilket slag som helst — tär vi arbetar intensivt letar vi ivrigt efter tecken på framsteg, precis som Columbus och hats följeslagare letade efter tecken på närhet till land. Vi skall diskutera några exempel för att förstå vad mat rimligen kat betrakta som ett tecken på att mat närmar sig en lösning.

1. Exempel. Jag har ett schackproblem. Jag skall sätta det smarta kungen matt i låt oss säga två drag. På brädet står en vit löpare som är långt ifrån det smarta kungen och som tycks vara överflödig. Vad kan det vara bra för? Jag är tvungen att lämna frågat obesvarad först. Men efter diverse försök kommer jag på ett tytt drag och märker att det skulle föra it det vita löparet i spelet. Iakttagelsen ger mig tytt hopp. Jag betraktar det som ett gynnsamt tecken. Det finns en chans att det nya draget är det riktiga. Varför?

I ett väl konstruerat schackproblem finns det inga överflödiga pjäser. Därför måste vi ta hänsyn till alla pjäserna på brädet. Vi måste använda alla uppgifter. Det korrekta lösningen använder med säkerhet alla pjäser, även det till synes överflödiga vita löparet. I detta sista avseende överensstämmer det nya drag som jag just funderar på med det rätta draget som jag måste finna. Det nya draget ser ut som det korrekta draget. Det kanske är det korrekta draget.

Låt oss titta på en liknande situation i ett matematiskt problem. Uppgiftet är att uttrycka ytan av en triangel med hjälp av dess sidor a, b och c. Jag har redan gjort upp en sorts plan. Jag vet mer eller mindre klart vilka geometriska samband jag måste utnyttja och vilka beräkningar jag måste utföra. Ändå är jag inte helt säker på om min plan kommer att fungera. Om jag tu tär jag fortsätter enligt min plan observerar att storheten √(b + c - a) ingår i uttrycket för dess yta som jag skall finna, har jag goda skäl att bli uppmuntrad. Varför?

I själva verket måste man ta med i beräkningen att summan av två sidor i en triangel är större än det tredje sidan. Detta innebär en miss inskränkning. De givna sidorna a, b och c kan inte vara helt godtyckliga. b + c måste t.ex. vara större än a. Detta är en väsentlig del av villkoret och vi måste använda hela villkoret. Om b + c inte är större än a blir det formel jag söker helt meningslös. Eftersom tu kvadratroten ovan blir imaginär om b + c - a är negativ — dvs. om b + c är mindre än a — så kat detta kvadratrot inte heller representera en reell storhet under precis samma villkor för vilka det önskade uttrycket blir meningslöst. Följaktligen har formeln i vilket kvadratroten ingår en viktig egenskap gemensam med det riktiga formeln för ytan. Min formel liknar alltså det riktiga formeln. Det kanske är den riktiga formeln.

Här är ytterligare ett exempel. Vid ett visst tillfälle ville jag bevisa en sats i rymdgeometri. Utan svårighet gjorde jag en första iakttagelse som verkade betydelsefull, men jag fastnade. Någonting fattades för att avsluta beviset. När jag gav upp det dagen hade jag ett mycket klarare begrepp än i börjat om hur beviset skulle se ut, hur luckan skulle fyllas, men jag kunde inte fylla det. Efter en natts vila tittade jag nästa dag på frågat igen och kom strax på en analog sats i plan geometri. Jag blev genast övertygad om att jag hade fått tag i lösningen och jag hade också, tror jag, goda skäl att vara övertygad. Varför?

I själva verket är analogier utomordentliga vägvisare. Lösningen av ett problem i rymdgeometri kan ofta hänga ihop med ett analogt problem i plan geometri (se Analogi, 3—7). Därför fanns det i mitt fall från början en möjlighet att mat i det önskade beviset som en hjälpsats skulle kunna använda tågot sats från det plana geometrin av just det typ jag kom på. "Det här satsen ser ut som det hjälpsats jag behöver. Det kanske är det hjälpsats jag behöver. "Det var så jag resonerade.

Om Columbus och hats mät hade gjort sig besväret att resonera förnuftigt så skulle de ha resonerat på något liknande sätt. De visste hur havet ser ut nära stranden. De visste att flygande fåglar förekommer mera rikligt nära land än ute på öppna havet och att flytande föremål är vanligare i vatten nära strand. Många av dem måste ha observerat sådana saker när de återvände hem från tidigare resor. Dagen innan det minnesvärda datum då de siktade ön San Salvador, då de flytande föremålen i vattnet blev fler och fler, tänkte de: "Det ser ut som om vi närmar oss land. Kanske närmar vi oss land" och "Alla levde upp och jublade vid dessa tecken."

2. Heuristiska drag i tecken på framsteg. Låt oss uppehålla oss vid en punkt som alla kanske redan har klar för sig. Men den är mycket viktig och därför måste den stå fullkomligt klar.

Den typ av resonemang som vi illustrerat med de föregående exemplen förtjänar att uppmärksammas och tas på allvar fastän resonemanget endast ger en sannolik antydan och inte någon osviklig säkerhet. Låt oss pedantiskt formulera om ett av dessa resonemang i sin helhet på ett ganska onaturligt detaljerat sätt:

Om vi närmar oss land ser vi ofta fåglar.

Nu ser vi fåglar.

Därför närmar vi oss troligen land.

Utan ordet "troligen" skulle slutsatsen vara ett rent misstag. I själva verket såg Columbus och hans följeslagare fåglar många gånger med svikna förhoppningar. Bara en gång kom den dag då de såg strandvipor följda av nästa dags upptäckt.

Med ordet "troligen" är slutsatsen rimlig och naturlig men utgör under inga förhållanden något bevis, någon övertygande slutsats. Den är bara en antydan, en heuristisk antydan. Det vore ett stort misstag att glömma bort att en sådan slutsats enbart är trolig för att i stället betraka den som säker. Men att helt bortse från sådana slutsatser skulle vara ett ännu större misstag. Om man tar en heuristisk slutsats för säker kan man bli lurad och besviken. Men om man försummar heuristiska slutsatser helt och hållet kommer man inte att göra några framsteg alls. De viktigaste tecknen på framsteg är heuristiska. Skall vi lita på dem? Skall vi följa dem? Följ dem men håll ögonen öppna. Lita på dem men var försiktig. Och avstå aldrig från gott omdöme.

3. Tecken som kan beskrivas lätt. Vi kan betrakta de föregående exemplen ur en annan synvinkel.

I ett av exemplen ansåg vi det vara ett gynnsamt tecken att vi i spelet lyckades föra in en av de givna storheterna (den vita löparen) som inte hade använts tidigare. Det var helt riktigt att se det så. Att lösa ett problem innebär i själva verket väsentligen att finna sambandet mellan det givna och det sökta. Dessutom bör man åtminstone i ett välformulerat problem använda alla givna uppgifter, söka sambandet för var och en av dem med den okända storheten. Att kunna föra in ytterligare en given storhet i spelet uppfattas därför helt naturligt som ett framsteg.

I ett annat exempel ansåg vi det vara ett gynnsamt tecken att vår formel tog vederbörlig hänsyn till ett viktigt moment i villkoret. Det gjorde vi alldeles rätt i. I själva verket skall vi använda hela villkoret. Att kunna ta hänsyn till ytterligare ett av de krav som ingår i villkoret måste därför med rätta uppfattas som ett framsteg, som ett steg i rätt riktning.

I ytterligare ett annat exempel ansåg vi det vara ett gynnsamt tecken när vi såg ett enklare analogt problem. Detta är också helt motiverat. Analogi är verkligen en av de viktigaste källorna till upptäckter. Om andra metoder slår slint bör vi försöka att föreställa oss ett analogt problem. Om ett sådant problem dyker upp av sig självt känner vi oss därför helt naturligt uppmuntrade. Vi känner att vi håller på att närma oss lösningen.

Efter dessa exempel är det nu lätt att uppfatta den grundläggande idén. Det finns vissa tankeoperationer som normalt är användbara när man löser problem. (De vanligaste av dessa operationer finns upptagna på listan i boken.) Om en sådan operation lyckas (om ytterligare en given storhet kan sättas i samband med den sökta — om ytterligare ett av villkorets krav kan beaktas — om ett enklare analogt problem kan införas) känner man det som ett framsteg. Har vi förstått denna väsentliga punkt kan vi på ett klarare sätt beskriva arten av också andra tecken på framsteg. Allt vi behöver göra är att läsa genom vår lista och betrakta de olika frågorna och uppmaningarna ur vår nya synvinkel.

Att klart förstå arten av det vi söker innebär alltså ett framsteg. Om vi har ordnat de givna uppgifterna så klart att vi lätt kan erinra oss vilket som helst av dem, innebär detta också ett framsteg. Att klart kunna åskådliggöra villkoret som helhet kan innebära ett väsentligt framsteg och även att kunna dela upp villkoret i lämpliga delar. När vi har funnit en figur som är lätt att föreställa sig eller en notation som är lätt att minnas har vi anledning att anse att vi har gjort framsteg. Om vi kommer på ett närbesläktat problem som är löst förut kan detta innebära ett avgörande steg i rätt riktning.

Och så vidare, och så vidare. Mot varje klart uppfattad tankeoperation svarar ett visst tecken som kan beskrivas klart. Vår lista innehåller också tecken på framsteg om man läser den på rätt sätt.

Nu är frågorna och uppmaningarna på vår lista enkla, uppenbara, helt enkelt vanligt sunt förnuft. Detta har sagts gång efter annan och samma sak kan sägas om de närbesläktade tecken på framsteg som vi diskuterar här. För att tyda sådana tecken erfordras ingen ockult vetenskap, endast litet sunt förnuft och naturligtvis litet erfarenhet.

4. Tecken som är svårare att beskriva klart. När vi arbetar koncentrerat märker vi klart hur vi framskrider. När det går snabbt blir vi upplivade, när det går långsamt blir vi modfällda. Vi känner sådana skillnader helt klart utan att vi för den skull kan peka på något speciellt tecken. Stämningar, känslor, en allmän uppfattning av situationen antyder de framsteg vi gör. Det är inte så lätt att beskriva dem. "Det verkar bra!" eller "Det här är inte bra!" säger den okonstlade. Personer som uttrycker sig mera sofistikerat kanske lägger in en nyans och säger: "Planen är balanserad", eller "Nej, någonting saknas fortfarande som stör harmonin." Ändå ligger bakom enkla eller vaga uttryck en påtaglig känsla som vi följer med förtröstan och som ofta leder oss i rätt riktning. Om en sådan känsla är mycket stark och dyker upp plötsligt talar vi om inspiration. Folk tvivlar vanligtvis inte på sin inspiration och bedras därför ibland. Egentligen borde vi behandla inspiration och vägledande känslor på precis samma sätt som vi behandlar de mera tydliga tecken på framsteg vi talat om ovan. Lita på dem men håll ögonen öppna. Följ alltid din inspiration — men med en gnutta tvivel.

[Vilken är arten av dessa vägledande känslor? Finns det någon mindre vag betydelse bakom ord med sådana estetiska nyanser som "balanserad" eller "harmonisk"? Dessa frågor må vara mer teoretiska än praktiska, men sammanhanget antyder att det finns svar som kanske borde formuleras. Eftersom de tecken på framsteg som kan beskrivas mera klart hänger samman med framgången för eller misslyckandet med vissa ganska bestämda tankeoperationer kan vi misstänka att de mindre klara vägledande känslorna på liknande sätt skulle kunna hänga ihop med andra, dunklare tankeaktiviteter - kanske med processer vars natur är mer "psykologiska" och mindre "logiska".]

5. Hur tecken vägleder. Jag har en plan. Jag ser ganska klart för mig var jag bör börja och vilka steg jag först bör ta. Men jag vet inte hur vägen ser ut i fortsättningen. Jag är inte helt säker på att planen kommer att fungera, och i vilket fall som helst har jag fortfarande lång väg framför mig. Därför börjar jag försiktigt enligt min plan och håller utkik efter tecken på framsteg. Om de är sällsynta eller oklara börjar jag bli tveksam. Och om de uteblir under en lång tid kanske jag förlorar hoppet, vänder tillbaka och försöker en annan väg. Om de å andra sidan uppträder allt oftare när arbetet fortskrider släpper min tvekan, humöret stiger och jag går fram med ökad förtröstan, precis som Columbus och hans följeslagare gjorde innan de siktade ön San Salvador.

Tecken kan leda våra handlingar. Frånvaron av tecken kan varna för en återvändsgränd och bespara oss tid och onödigt arbete. Om de dyker upp kan de få oss att koncentrera våra krafter i rätt riktning.

Men tecken kan också vara bedrägliga. Jag övergav en gång en viss väg beroende på att tecken uteblev, men en man som kom efter mig och som följde vägen ytterligare ett stycke gjorde en betydelsefull upptäckt — till min stora förtret och med långvarig ånger som följd. Han hade inte bara större uthållighet än jag utan tydde också ett visst tecken riktigt som jag inte hade uppmärksammat. A andra sidan kan det hända att jag glatt följer en väg uppmuntrad av gynnsamma tecken och springer rakt på ett oväntat och oöverstigligt hinder.

Ja, tecken kan leda oss vilse i enstaka fall, men de leder oss rätt för det mesta. En jägare kan då och då feltolka spåren efter sitt villebråd men han måste genomsnittligt ha rätt, annars skulle han inte kunna leva på att jaga.

Det fordras erfarenhet för att tolka tecken på ett riktigt sätt. Några av Columbus följeslagare visste naturligtvis av erfarenhet hur havet ser ut nära strand och därför kunde de tyda de tecken som visade att de närmade sig land. Experten vet av erfarenhet hur situationen ser ut och känner när lösningen ligger inom räckhåll, och därför kan han tyda de tecken som visar att han kommer närmare den. Experten känner igen fler tecken än den oerfarne och han känner till dem bättre. Hans huvudsakliga övertag kanske ligger just i detta. En erfaren jägare lägger märke till spår av villebråd och kan t.o.m. bedöma hur färska eller gamla de är, där den oerfarne inte ser någonting.

Det huvudsakliga övertag en exceptionellt begåvad person har över andra kan mycket väl ligga i något slags utvecklad tankemässig känslighet. Med sin fina känsla lägger han märke till de mest obetydliga tecken på framsteg eller märker att inga sådana tecken dyker upp, där en mindre begåvad person inte alls kan iaktta någon skillnad.

6. Heuristisk slutledning. I avsnitt 2 träffade vi på en metod för heuristisk argumentation som förtjänar ett närmare studium och som förtjänar att vi ger den en teknisk term. Vi börjar med att formulera om resonemanget på följande sätt:

Påståendena ovanför den horisontella linjen kan kallas premisserna, påståendet under linjen slutsatsen. Hela argumentationsmönstret kan kallas heuristisk slutledning.

Premisserna är givna här i samma form som i avsnitt 2, men slutsatsen är mer försiktigt formulerad. En väsentlig omständighet har framhävts bättre. Columbus och hans män förmodade redan vid starten att de till slut skulle finna land genom att segla västerut. De måste ha varit ganska fasta i sin övertygelse, annars skulle de inte ha gett sig iväg över huvud taget. Under färden blev för varje iakttagelse, stor som liten, den dominerande frågan: "Närmar vi oss land?" Deras förtröstan steg och sjönk allteftersom händelser inträffade eller uteblev och varje mans övertygelse skiftade beroende på lynne och tidigare erfarenheter. Resans hela dramatiska spänning ligger i dessa fluktuationer i tillförsikt.

Den heuristiska slutledningen erbjuder en vettig bas för att ändra graden av tillförsikt. Att åstadkomma sådana förändringar är det väsentliga i detta slags argumentation och detta visas tydligare i formuleringen ovan än i avsnitt 2.

Det allmänna mönstret, som antyds av vårt exempel, kan uttryckas på följande sätt:

eller kortare

I detta schematiska uttryck betyder den horisontella linjen "därför" och uttrycker implikationen, den väsentliga förbindelsen mellan premisserna och slutsatsen.

[7. Den sannolika argumentationens egenskaper. Vi diskuterar en filosofisk fråga i denna lilla bok. Vi diskuterar den så praktiskt och informellt och så långt från alla högtravande uttryckssätt som möjligt, men inte desto mindre är vårt ämne filosofiskt. Det handlar om arten av heuristisk argumentation

och, genom utvidgning, om ett slags argumentation som visserligen inte innebär fullt bevis men ändå är betydelsefull. I brist på bättre beteckning skall vi kalla denna argumentation för sannolik argumentation.

De ledtrådar som övertygar uppfinnaren om att hans ide är riktig, de tecken som leder oss i våra vardagliga bestyr, advokatens indicier, vetenskapsmannens hopsamlade bevismaterial, statistiska bevis från många och olika områden — alla dessa typer av "bevis" har två väsentliga punkter gemensamma. För det första har de inte innebörden av ett strikt bevis. För det andra är de till god hjälp när det gäller att förvärva i stort sett nya kunskaper och t.o.m. oumbärliga för allt icke helt matematiskt eller logiskt vetande, för allt vetande som har med den fysikaliska världen att göra. Vi skulle kunna kalla den argumentation som leder till detta slag av bevis för "heuristisk argumentation" eller "induktiv argumentation" eller (om vi vill undvika en utvidgning av innebörden av redan existerande termer) "sannolik argumentation". Vi använder här den sista termen.

Den heuristiska slutledningen kan betraktas som det enklaste och vanligaste mönstret för sannolika resonemang. Det påminner om ett klassiskt mönster i demonstrativa eller bevisande resonemang, om den s.k. "modus tolens av hypotetisk slutledning". Vi visar här båda mönstren sida vid sida:

Det är lärorikt att jämföra dessa mönster. Det ger oss en inblick, som är svår att få på annat sätt, i arten av sannolikt (heuristiskt, induktivt) resonemang.

Båda mönstren har samma första premiss: Om A så B. De skiljer sig i den andra premissen. Påståendena

är precis motsatta varandra men de är av "liknande logisk natur". De befinner sig på samma "logiska nivå". Den stora skillnaden uppträder efter premisserna. Slutsatserna

ligger på olika logiska nivåer och deras förhållande till sina respektive premisser är av olika logisk natur.

Slutsatsen i den bevisande slutledningen är av samma logiska natur som premisserna. Den är därutöver fullständigt uttryckt och fullkomligt understödd genom premisserna. Om min granne och jag är överens om att acceptera premisserna kan vi inte rimligen ställa oss olika när det gäller att acceptera slutsatsen, hur olika våra intressen och övertygelser än må vara.

Slutsatsen i den heuristiska slutledningen skiljer sig från premisserna i sin logiska natur. Den är mera vag, mindre skarp, mer ofullständigt uttryckt. Slutsatsen är jämförbar med en kraft. Den har riktning och storlek. Den påverkar oss i en viss riktning: A blir mer troligt. Slutsatsen har också en viss styrka: A kan bli mycket mera troligt eller bara litet mer troligt. Slutsatsen är ofullständigt uttryckt och ofullständigt understödd genom premisserna. Riktningen är uttryckt i och följer av premisserna men inte storleken. För varje förnuftig människa innebär premisserna att A blir mer troligt (med säkerhet inte mindre troligt). Ändå kan min granne och jag vara helt oense om hur mycket mera troligt A blir, eftersom våra temperament, våra tidigare erfarenheter och andra bedömningsgrunder kan vara helt olika.

I den bevisande slutledningen utgör premisserna en fullständig bas på vilken slutsatsen vilar. Om båda premisserna är riktiga är slutsatsen också riktig. Om vi får reda på något nytt som inte ändrar vår tro på premisserna kan inte vår tro på slutsatsen ändras.

I den heuristiska slutledningen utgör premisserna bara en del av basen på vilken slutsatsen vilar, den klart uttryckta, den "synliga" delen av basen. Det finns en outtalad, osynlig del, bestående av någonting annat, kanske av oklara känslor eller av obestämbara skäl. Det kan i själva verket hända att vi får reda på något nytt som inte alls ändrar vår tro på premisserna men som kommer oss att ändra vår tilltro till A på ett sätt som är raka motsatsen till det som slutsatsen uttrycker. Att anse A mer sannolikt på grund av premisserna i vår heuristiska slutledning är naturligtvis rimligt. Och ändå kanske jag i morgon finner skäl som inte alls påverkar dessa premisser men som gör A mindre sannolikt eller t.o.m. definitivt vederlägger det. Slutsatsen kan försvagas eller t.o.m. fullständigt kullkastas genom oordning i de osynliga delarna av dess bas, fastän premisserna, den synliga delen, kvarstår oförändrade.

Dessa iakttagelser tycks något klargöra arten av heuristiska, induktiva och andra slags icke bevisande sannolika resonemang, som verkar så svårgripbara och gäckande när man försöker undersöka dem med hjälp av rent bevisande logik. Många fler konkreta exempel, studium av andra slag av heuristisk slutledning och en undersökning av sannolikhetsbegreppet och andra närbesläktade begrepp förefaller nödvändiga för att komplettera denna framställning. Jämför författarens Mathematics and Plausible Reasoning.]

Heuristiska argument är viktiga fast de inte bevisar någonting. Att klargöra våra heuristiska argument är också viktigt fastän det bakom varje klargjort argument finns många andra som förblir dunkla och som kanske är ännu mer betydelsefulla.

Uppdelning och rekombinering är betydelsefulla tankeoperationer. Man undersöker ett föremål som har fångat ens intresse eller har utmanat ens nyfikenhet. Ett hus man funderar på att hyra, ett viktigt men kryptiskt telegram, något föremål vars ändamål eller ursprung förbryllar eller något problem man vill lösa. Man har fått ett visst intryck av föremålet som helhet, men detta intryck är kanske inte tillräckligt bestämt. Det finns en detalj som slår en och man koncentrerar uppmärksamheten på den. Sedan inriktar man sig på någon annan detalj, därefter på ytterligare någon annan. Olika kombinationer av detaljer kan på detta sätt framträda och efter en tid betraktar man föremålet som helhet igen, men nu ser man det på ett helt annat sätt. Man delar upp helheten i delar, och man rekombinerar delarna till något mer eller mindre nytt helt.

1. Om man går in på detaljer kan man kanske förlora sig i detaljer. För många eller för små detaljer är en belastning för minnet, De kan kanske hindra en från att ägna tillräcklig uppmärksamhet åt huvudsaken eller t.o.m. från att se vad det är som är huvudsaken. Tänk på uttrycket "Inte se skogen för bara träd".

Naturligtvis vill vi inte ödsla tid på onödiga detaljer utan ägna våra ansträngningar åt det som är väsentligt. Svårigheten ligger i att vi inte på förhand kan avgöra vilka detaljer det är som senare kommer att visa sig nödvändiga och vilka som inte kommer att göra det.

Låt oss därför först och främst försöka förstå problemet i sin helhet. Har vi gjort det kommer vi att ha det mycket lättare att bedöma vilka speciella punkter som är de mest väsentliga. Har vi sedan undersökt en eller två väsentliga punkter kommer vi att lättare kunna bedöma vilka ytterligare detaljer som förtjänar närmare undersökning. Låt oss gå in på detaljer och dela upp problemet stegvis men inte längre än vad som är nödvändigt.

En lärare kan självfallet inte vänta sig att alla hans elever skall handla klokt i detta avseende. Det är tvärtom tyvärr mycket vanligt att elever börjar arbeta med detaljer långt innan de har förstått problemet i sin helhet.

2. Vi skall nu betrakta matematiska problem av typen "sökproblem".

När vi har förstått ett problem i sin helhet, dess syfte, dess innebörd, så vill vi gå in på detaljer. Var skall vi börja någonstans? I nästan samtliga fall är det förnuftigt att börja med att betrakta problemets huvuddelar, vilka utgörs av det som söks, det som är givet och av villkoret. I nästan samtliga fall är det tillrådligt att börja den detaljerade undersökningen av problemet med frågorna: Vad är det som söks? Vad är det som är givet? Hur lyder villkoret?

Om vi vill undersöka ytterligare detaljer, vad skall vi göra då? Ofta lönar det sig att undersöka var och en av de givna storheterna för sig, och vidare att dela upp villkorets olika delar för att undersöka varje del för sig.

Det kan visa sig nödvändigt, speciellt om vårt problem är av ett svårare slag, att dela upp det ytterligare och att undersöka ännu mer perifera detaljer. Så kan det t.ex. bli nödvändigt att gå tillbaka till definitionen av en viss fackterm, att införa nya element förbundna med denna definition för att sedan närmare undersöka dessa element.

3. Efter att ha delat upp problemet kan vi försöka lägga ihop elementen igen på något nytt sätt. Speciellt kan vi försöka lägga ihop elementen till något nytt, mera tillgängligt problem, som vi möjligtvis skulle kunna använda som ett hjälpproblem.

Möjligheterna att rekombinera är naturligtvis obegränsade. Svåra problem kräver svåråtkomliga, exceptionella, originella kombinationer, och problemlösarens uppfinningsförmåga visar sig i kombinationens originalitet. Det finns emellertid vissa vanliga och relativt enkla kombinationer, tillräckliga för enklare problem, som vi bör känna till ordentligt och försöka först, även om vi kanske till slut måste anlita mindre uppenbara metoder.

Man kan göra en formell klassificering över de vanligaste och mest användbara kombinationerna. När vi konstruerar ett nytt problem ur ett redan givet problem kan vi

a) behålla den okända storheten och ändra resten (de givna uppgifterna och villkoret), eller

b) behålla de givna uppgifterna och ändra resten (den okända storheten och villkoret), eller

c) ändra både den okända storheten och de givna uppgifterna.

Vi skall undersöka dessa fall.

Fallen a) och b) sammanfaller delvis. Det är i själva verket möjligt att behålla både den okända storheten och de givna uppgifterna och att förvandla problemet genom att ändra enbart villkorets form. Följande två problem är t.ex. inte identiska, fastän de uppenbarligen är ekvivalenta:

Konstruera en liksidig triangel om en sida är given.

Konstruera en likvinklig triangel om en sida är given.

Skillnaden mellan de två formuleringarna är obetydlig i detta exempel men kan vara avgörande i andra fall. Sådana fall är t.o.m. betydelsefulla i vissa avseenden, men det skulle ta upp för mycket utrymme att diskutera dem här. Jämför Hjälpproblem, 7, den sista kommentaren.

4. Att behålla den okända storheten och ändra de givna uppgifterna samt villkoret är ofta lämpligt för att förvandla det givna problemet. Uppmaningen Betrakta den obekanta syftar på problem med samma obekanta. Vi kan försöka komma på ett tidigare löst problem av detta slag: Försök finna ett känt problem med samma eller liknande obekanta storhet. Om vi inte lyckas komma på ett sådant problem kan vi försöka att uppfinna ett: Kan du komma på andra data lämpliga för att bestämma den okända storheten?

Ett nytt problem som är mycket närbesläktat med det givna problemet ger större möjligheter till hjälp. Om vi behåller den okända storheten försöker vi därför också att behålla några av de givna uppgifterna och en del av villkoret och att ändra så litet som möjligt, kanske bara en eller två av de givna uppgifterna och en mindre del av villkoret. En bra metod är den där vi utesluter någonting utan att lägga till någonting. Vi behåller den okända, behåller endast en del av villkoret, förkastar den andra delen, men för inte in något nytt villkor eller någon ny given storhet. Exempel på detta fall jämte kommentarer följer nedan under avsnitt 7 och 8.

5. Om vi behåller de givna uppgifterna kan vi försöka in föra någon användbar och mera tillgänglig ny okänd storhet. En sådan ny okänd storhet måste erhållas ur de ursprungliga data, och vi har en sådan okänd storhet i tankarna när vi frågar: Skulle du kunna härleda någonting användbart ur de givna uppgifterna?

Låt oss påpeka att två saker är önskvärda här. För det första skall vår nya obekanta storhet vara mer tillgänglig, dvs. lättare att erhålla ur de givna uppgifterna än den ursprungliga obekanta storheten. För det andra skall den nya storheten vara användbar, dvs. den måste när vi väl funnit den kunna hjälpa oss när vi vill ha tag i den ursprungliga okända storheten. Kort uttryckt skall den nya storheten vara ett slags språngbräda eller sten att kliva på. En sten mitt i en bäck ligger närmare mig än den andra sidan som jag vill komma till, och när jag har nått stenen kan den hjälpa mig över till andra sidan.

Den nya okända storheten skall vara både tillgänglig och användbar, men i praktiken måste vi ofta nöja oss med mindre. Om ingenting bättre uppenbarar sig är det inte orimligt att ur de givna uppgifterna härleda någonting som kan tänkas bli användbart. Det är också förnuftigt att försöka med en ny okänd storhet som har ett nära samband med den ursprungliga även om den till att börja med inte verkar vara särskilt tillgänglig.

Om vårt problem t.ex. består i att finna diagonalen i en parallellepiped (som i avsnitt 8) kan vi föra in diagonalen i en sida som en ny obekant. Vi kan göra detta antingen därför att vi vet att om vi känner diagonalen i en sida så kan vi också erhålla en diagonal i rummet (som i avsnitt 10). Vi kan också göra det därför att det är lätt att erhålla diagonalen i en sida och att vi misstänker att den skulle kunna vara användbar för att finna en diagonal i rummet. (Jämför Använde du alla de givna uppgifterna?, 1.)

Om vårt problem är att konstruera en cirkel måste vi finna två ting, dess medelpunkt och dess radie. Vi kan säga att vårt problem har två delar. I vissa fall är någon av delarna lättare tillgänglig än de andra och därför kan det i alla händelser vara värt att ett ögonblick begrunda möjligheten: Skulle du kunna lösa en del av problemet? När vi frågar detta väger vi möjligheterna. Skulle det löna sig att koncentrera sig enbart på cirkelns medelpunkt eller enbart på radien och att välja den ena eller den andra av dem som en ny obekant? Detta slags frågor är ofta användbara. I mer komplicerade eller i mer avancerade problem består den avgörande iden ofta i att isolera och angripa någon mer tillgänglig men väsentlig del av problemet.

6. Att ändra både den obekanta och de givna uppgifterna innebär en större avvikelse från vår ursprungliga kurs än i de föregående fallen. Detta tycker vi naturligtvis inte om. Vi inser risken av att helt och hållet tappa bort problemet. Likväl kan vi tvingas till en sådan omfattande ändring om mindre radikala ändringar har misslyckats, och det kan vara frestande att avvika så mycket från vårt ursprungliga problem om det nya problemet har en god chans att lyckas. Skulle du kunna ändra den obekanta eller det givna, eller bådadera om nödvändigt, så att den nya okända storheten och de nya data ligger närmare varandra?

Ett intressant sätt att ändra både den okända storheten och de givna uppgifterna är att byta ut den okända mot någon av de givna uppgifterna. (Se Kan du använda resultatet?, 3.)

Fig. 27

7. Exempel. Konstruera en triangel om en sida a, höjden h vinkelrätt mot A och vinkeln α mittemot a är givna.

Vad är det som söks? En triangel.

Vad är det som är givet? Två sträckor, a och h, och en vinkel α.

Om vi nu något känner till geometriska konstruktionsproblem, så försöker vi reducera ett sådant här problem till konstruktionen av en punkt. Vi drar en linje BC lika med den givna sidan a. Allt vi sedan har att finna är hörnet A i triangeln, som står mittemot α, se fig. 27. Vi har i själva verket ett nytt problem.

Vad är det som söks? Punkten A.

Vad är det som är givet? En sträcka h, en vinkel α samt läget av två punkter B och C.

Hur lyder villkoret? Det vinkelräta avståndet från punkten A till linjen BC skall vara h och BAC = α.

Vi har i själva verket förvandlat vårt problem och ändrat både den okända storheten och de givna storheterna. Den nya okända storheten är en punkt, den gamla var en triangel. Några av de givna uppgifterna är desamma i båda problemen, linjen h och vinkeln a. Men i det gamla problemet hade vi en given sträcka a i stället för som nu två givna punkter B och C.

Det nya problemet är inte svårt. Följande uppmaning för oss helt nära lösningen.

Dela upp villkorets olika delar. Villkoret har två delar. Den ena handlar om h, den andra om a. Punkten som söks skall vara

a) på avståndet h från linjen BC och

b) hörnet i en vinkel vars storlek är a och vars ben går genom de givna punkterna B och C.

Om vi behåller endast en del av villkoret och förkastar den andra delen är den okända punkten inte helt bestämd. Det finns många punkter som uppfyller del a) av villkoret, nämligen alla punkter på en linje som är parallell med BC på avståndet h från BC.^|14| Denna parallell är orten för alla punkter som uppfyller del a) av villkoret. Orten för alla punkter som uppfyller del b) är en viss cirkelbåge vars ändpunkter är B och C. Vi kan rita in båda orterna, och deras skärningspunkt är den punkt vi ville konstruera.

Den metod vi just använt har ett särskilt intresse. När vi löser geometriska konstruktionsproblem kan vi ofta med framgång följa dess mönster: Reducera problemet till konstruktionen av en punkt och konstruera punkten som skärningen mellan två orter.

Men ett visst steg i denna metod har ett ännu mera allmänt intresse. När vi löser alla slag av "sökproblem" kan vi följa mönstret: Behåll endast en del av villkoret, förkasta den andra delen. Om vi gör det mjukar vi upp det givna problemets villkor och begränsar inte den obekanta storheten så mycket. I vilken grad är den okända storheten då bestämd, hur kan den variera? När vi frågar detta ger vi i själva verket ett nytt problem. Om den obekanta är en punkt i ett plan (som den var i vårt exempel) består lösningen av det nya problemet i att bestämma den ort som punkten beskriver. Om den obekanta är ett matematiskt objekt av ett eller annat slag (den var en kvadrat i avsnitt 18) måste vi korrekt beskriva och exakt karakterisera en viss mängd av objekt. Även om den obekanta inte är ett matematiskt objekt (som i nästa exempel) kan det vara lämpligt att betrakta, att karakterisera, att beskriva eller att göra en lista över de objekt som uppfyller en viss del av det villkor som ställs på den okända storheten i det givna problemet.

8. Exempel. I ett korsord som tillåter ordlekar och anagram finner vi följande ledtråd: "Fram och bak en del av en maskin (5 bokstäver)."

Vad är det som söks? Ett ord.

Hur lyder villkoret? Ordet har 5 bokstäver. Det har någonting att göra med någon del av en maskin, och låt oss hoppas att det inte är ett alltför ovanligt ord.

Är villkoret tillräckligt för att bestämma den obekanta? Nej. Eller rättare sagt, villkoret må vara tillräckligt, men den del av villkoret som nu står klar är förvisso otillräcklig. Det finns alldeles för många ord som passar, som t.ex. "skruv", "hylsa", "växel" och allt möjligt annat.

Villkoret är tvetydigt uttryckt — med avsikt naturligtvis. Om vi inte kan finna någonting som rimligen kan beskrivas som en "framdel" i en maskin och som lika gärna skulle kunna vara en "bakdel" kanske vi misstänker att fram och bak antyder hur ordet skall läsas. Det kanske är en god ide att undersöka denna tolkning.

Dela upp villkorets olika delar. Villkoret har två delar. Den ena handlar om betydelsen av ett ord, den andra om antalet bokstäver. Det okända ord som söks måste

a) vara ett kort ord som avser någon del av en maskin,

b) vara ett ord med 5 bokstäver som, om det skrivs baklänges, åter betecknar en del av en maskin.

Om vi behåller endast en del av villkoret och förkastar den andra delen är den obekanta inte fullständigt bestämd. Det finns många ord som uppfyller del a) av villkoret. De kan sägas ha samma "ort". Vi kan "beskriva" denna ort a), "följa" den till dess "skärningspunkt" med orten b). Det naturliga tillvägagångssättet är att koncentrera sig på del a) av villkoret, att försöka komma på alla möjliga ord som har den föreskrivna betydelsen och, när vi har kommit på några sådana ord, att undersöka huruvida de har eller inte har den föreskrivna längden och om de kan eller inte kan läsas baklänges. Vi kanske måste gå igenom åtskilliga ord innan vi kommer på det rätta: skruv, stång, broms, skaft, kedja, motor. Naturligtvis, "rotor"!

9. I avsnitt 3 redogjorde vi för möjligheterna att komma fram till nya "sökproblem" genom att rekombinera vissa element av ett givet problem. Om vi introducerar inte bara ett problem utan två eller flera, finns det fler möjligheter som vi skall nämna men inte försöka klassificera.

Också andra möjligheter kan uppkomma. Speciellt kan lösningen av ett "sökproblem" bero på lösningen av ett "bevisproblem". Vi bara nämner denna viktiga möjlighet. Utrymmesskäl hindrar oss från att diskutera den.

10. Endast några få korta kommentarer skall tilläggas rörande "bevisproblem". De är analoga med de föregående mer utförliga kommentarerna om "sökproblem".

Om vi har förstått ett sådant problem i sin helhet bör vi i allmänhet undersöka dess huvuddelar. Huvuddelarna är antagandet och påståendet i den sats vi har att bevisa eller vederlägga. Vi måste helt förstå dessa delar: Vad har vi för antagande? Vad har vi för påstående? Om det är nödvändigt att gå in på mer speciella punkter kan vi dela upp antagandets olika delar och betrakta varje del för sig. Sedan kan vi gå till andra detaljer och dela upp problemet mer och mer.

När vi har delat upp problemet kan vi försöka sätta ihop dess element på något nytt sätt. Speciellt kan vi försöka sätta ihop elementen till en annan sats. I det avseendet finns det tre möjligheter.

a) Vi behåller påståendet och ändrar antagandet. Först försöker vi erinra oss en sådan sats: Betrakta påståendet! Försök finna en känd sats med samma eller liknande påstående. Om vi inte kan komma på någon sådan sats försöker vi hitta på en. Skulle du kunna tänka dig något annat antagande ur vilket påståendet lätt kan härledas? Vi kan ändra antagandet genom att utelämna någonting utan att lägga till någonting i stället: Behåll endast en del av antagandet, förkasta den andra delen. Är påståendet fortfarande giltigt?

b) Vi behåller antagandet och ändrar påståendet: Skulle du kunna härleda någonting användbart ur antagandet?

c) Vi ändrar både antagandet och påståendet. Vi kanske blir mer benägna att göra detta om vi inte har haft någon framgång med att bara ändra ett av dem. Skulle du kunna ändra antagandet eller påståendet, eller bådadera om nödvändigt, så att det nya antagandet och det nya påståendet ligger närmare varandra?

Vi skall inte här försöka gå in på att klassificera de olika möjligheter som uppträder när vi i avsikt att lösa ett givet "bevisproblem" introducerar två eller flera nya "bevisproblem" eller när vi kopplar ihop det med ett lämpligt "sökproblem".

Uppfinnarparadoxen. En mer ambitiös plan kan mycket väl ha större möjligheter att lyckas.

Detta låter paradoxalt. Likväl kan vi lägga märke till att när vi går över från ett problem till ett annat, så är det nya mera ambitiösa problemet ofta lättare att behandla än det ursprungliga problemet. Det kan vara lättare att besvara fler frågor än enbart en fråga. En mer omfattande sats kan vara lättare att bevisa, ett mer generellt problem lättare att lösa.

Paradoxen försvinner om vi närmare betraktar några exempel (Generalisering, 2; Induktion och matematisk induktion, 7). Den mer ambitiösa planen kan ha större utsikter till framgång förutsatt att den inte är baserad enbart på anspråksfullhet utan på någon föreställning om vad som ligger bakom det helt näraliggande.

Vad är det som söks? Vad krävs? Vad är det du vill komma fram till? Vad skall du söka?

Vad är det som är givet? Vad har du att utgå ifrån?

Hur lyder villkoret? Genom vilka villkor är det som söks relaterat med det som är givet?

Dessa frågor kan användas av läraren för att kontrollera om eleverna förstår problemet. Eleven skall kunna ge ett klart och tydligt svar på dem. Dessutom riktar de elevens uppmärksamhet mot huvuddelarna i ett "sökproblem": det som söks, det som är givet, villkoret. Eftersom det kan bli nödvändigt att tänka igenom dessa delar om och om igen kommer frågorna att repeteras ofta under lösningens senare faser. (Exempel i avsnitten 8, 10, 18, 20; Att ställa upp ekvationer, 3, 4; Praktiska problem, 1; Ordgåtor och på andra ställen.)

Frågorna är av största betydelse för problemlösaren. Han kontrollerar att han förstår problemet, han koncentrerar sin uppmärksamhet på den ena eller den andra av problemets huvuddelar. Lösningsprocessen består huvudsakligen i att relatera det okända till det som är känt. Därför måste problemlösaren intensivt betrakta dessa delar om och om igen och fråga: Vad är det som söks? Vad är det som är givet?

Problemet kan ha många obekanta och villkoret kan ha olika delar som måste betraktas var för sig, eller också kan det vara lämpligt att betrakta några av de givna uppgifterna var för sig. I så fall kan vi variera våra frågor som t.ex.: Vilka storheter är det som söks? Vilken är den första givna uppgiften? Vilken är den andra? Vilka är villkorets olika delar? Vilken är den första "klausulen" i villkoret?

Huvuddelarna i ett "bevisproblem" är antagandet och påståendet och motsvarande frågor är: Vad har vi för antagande? Vad har vi för påstående? Vi kanske behöver någon variation på det språkliga uttrycket eller en modifiering av dessa ofta användbara frågor som: Vad är det vi antar? Vilka är de olika delarna i vårt antagande? (Exempel i avsnitt 19.)

Varför behövs bevis? Det finns en ofta berättad historia om Newton. Som ung student började han studera geometri genom att läsa Euklides Elementa, vilket var det vanliga på hans tid. Han läste satserna, insåg att de var sanna och hoppade över bevisen. Han förvånade sig över att någon skulle behöva lägga ner arbete på att bevisa så uppenbara saker. Många år senare ändrade han emellertid sin åsikt och lovordade Euklides,

Historien må vara autentisk eller inte. Den fråga som kvarstår är: Varför skall vi lära oss eller lära ut bevis? Vad är att föredra: inga bevis alls, bevis för allting eller bara några bevis? Och om bara några bevis, vilka bevis?

1. Fullständiga bevis. För vissa logiker existerar enbart fullständiga bevis. Det som gör anspråk på att vara ett bevis får inte innehålla några luckor, inga kryphål, ingen som helst ovisshet, i annat fall är det inget bevis. Kan vi finna fullständiga bevis som når upp till en sådan ambitionsnivå i vårt dagliga liv eller inom rättsväsendet eller inom fysiken? Knappast. Det är alltså svårt att förstå hur vi har kunnat komma fram till föreställningen om ett fullständigt strikt bevis.

Med en lätt överdrift kan vi säga att vi har fått denna föreställning av en man och en bok: Euklides och hans Elementa. I vilket fall som helst ger ett studium av den plana geometrins grunder fortfarande det bästa tillfället att förvärva iden om ett rigoröst bevis.

Fig. 28

Låt oss som ett exempel ta beviset av följande sats: I varje triangel är summan av de tre vinklarna lika med två räta vinklar.^|15| Fig. 28, som de flesta av oss känner till, kräver knappast någon förklaring. En linje är dragen genom hörnet A parallell med sidan BC. Vinklarna vid B och C är lika med vissa vinklar vid A, som angivits i figuren, eftersom alternatvinklar är lika stora. Triangelns tre vinklar är lika med de tre vinklarna med A som gemensamt hörn, vilka bildar en 180° vinkel eller två räta vinklar. Satsen är bevisad.

Om en elev har gått igenom matematikundervisningen utan att verkligen ha förstått bevis såsom det föregående, har han rätt att rikta stark kritik mot sin skola och sina lärare. I själva verket måste vi skilja mellan vad som är viktigt och vad som är mindre viktigt. Om eleven inte har lyckats lära sig det ena eller det andra av vissa geometriska fakta så har han inte gått miste om så mycket. Han har antagligen föga användning för sådana fakta senare i livet. Men om han inte har kunnat förstå geometriska bevis har han missat de bästa och enklaste exemplen på strikta bevis, och han har försuttit det bästa tillfället att förvärva föreställningen om strikt argumentation. Utan denna föreställning saknar han en verklig måttstock mot vilken han kan ställa alla påstådda bevis som han konfronteras med i vårt moderna liv.

Om den grundläggande utbildningen skall ge eleven ett begrepp om intuitivt bevis och logisk argumentation måste den ge utrymme åt geometriska bevis.

2. Logiskt system. Geometrin är, som den framställs i Euklides Elementa, inte bara en samling fakta utan också ett logiskt system. Axiomen, definitionerna och påståendena är inte slumpmässigt ordnade utan följer varandra i fulländad systematik. Varje påstående har en sådan placering att det kan baseras på de föregående axiomen, definitionerna och påståendena. Vi kan betrakta dispositionen av satserna som Euklides huvudsakliga bedrift, och deras logiska system utgör det verkliga värdet i Elementa.

Euklides geometri är inte bara ett logiskt system utan den är också det första och mest storartade exemplet på ett sådant system, som andra vetenskaper har försökt och fortfarande försöker efterlikna. Borde andra vetenskaper — speciellt sådana som ligger mycket långt från geometrin som t.ex. psykologin eller juridiken - efterlikna Euklides stränga logik? Detta är en omstridd fråga. Men ingen kan delta i diskussionen med sakkunskap som inte har satt sig in i det euklidiska systemet.

Geometrins system bygger på bevis. Varje sats hänger ihop med de föregående axiomen, definitionerna och påståendena genom ett bevis. Utan att förstå sådana bevis kan vi inte förstå systemets verkliga kärna.

Om den grundläggande utbildningen skall ge eleven ett begrepp om ett logiskt system måste den ge utrymme åt geometriska bevis.

3. Mnemotekniskt system. Författaren tror inte att föreställningarna om intuitivt bevis, strikt argumentation och logiskt system är betydelselösa för någon. Det kan emellertid finnas fall, i vilka ett studium av dessa begrepp inte anses absolut nödvändigt beroende på tidsbrist eller andra orsaker. Även i sådana fall kan dock bevis vara önskvärda.

Bevis bringar klarhet. Därigenom håller de samman det logiska systemet och de hjälper oss att komma ihåg dess olika delar. Ta exemplet som diskuterats ovan i samband med fig. 28. Denna figur gör det uppenbart att summan av vinklarna i en triangel är lika med 180º. Figuren förbinder detta faktum med ett annat faktum, nämligen att alternatvinklar är lika stora. Fakta som hänger ihop är emellertid intressantare och lättare att komma ihåg än isolerade fakta. Därför inpräntar figuren de två geometriska satserna i vårt huvud och figuren och satserna kan till slut bli en del av vårt minne.

Vi kommer nu till det fall i vilket förvärvandet av grundläggande föreställningar och begrepp inte betraktas som nödvändigt, endast vissa fakta anses önskvärda. Även i ett sådant fall måste fakta framställas med något samband med varandra och i något slags system, eftersom isolerade detaljer är svåra att lära in men lätta att glömma. Varje slag av samband som förenar fakta på ett enkelt, naturligt och hållbart sätt är välkommet här. Systemet behöver inte vara grundat på logik. Det behöver bara vara utformat så att det stöder minnet på ett effektivt sätt. Det måste vara vad som kallas ett mnemotekniskt system. Men även sedda som ett rent mnemotekniskt system kan bevis vara värdefulla, i synnerhet enkla bevis. Eleven måste t.ex. lära sig faktum om vinkelsumman i en triangel och ett annat faktum om alternatvinklar. Kan något hjälpmedel inprägla dessa fakta, vara enklare, naturligare eller mera effektivt än fig. 28?

Kort uttryckt: Även när ingen speciell vikt läggs vid allmänna logiska idéer kan bevis vara värdefulla som ett mnemotekniskt hjälpmedel.

4. Kokboksrystem. Vi har diskuterat fördelarna med bevis men vi förordade absolut inte att alla bevis skulle ges "in extenso". Tvärtom finns det fall där det knappast är möjligt att göra det. Ett viktigt exempel är den undervisning i differential- och integralkalkyl som meddelas studenter i ingenjörsvetenskap.

Om denna undervisning sker enligt moderna stränghetskrav erfordras bevis av en viss svårighetsgrad och skärpa ("epsilonbevis"). Men ingenjörer studerar integralkalkyl med tanke på dess tillämpning och de har varken tillräckligt mycket tid, utbildning eller intresse för att kämpa sig igenom långa bevis eller för att uppfatta hårfina distinktioner. Det kan därför vara mycket frestande att utelämna alla bevis. Gör man det så reduceras emellertid integralkalkylen till kokboksnivån.

En kokbok ger en detaljerad beskrivning av ingredienser och tillvägagångssätt men inga skäl för recepten eller bevis för föreskrifterna. Beviset för puddingen får man när man äter den. Kokboken kan tjäna sitt ändamål på ett fulländat sätt. I själva verket behöver den inte ha något slag av logiskt eller mnemotekniskt system eftersom recept skrivs eller trycks och inte bevaras i minnet.

En lärare eller en författare till en lärobok i integralkalkyl kan emellertid knappast uppnå sitt mål om han följer kokbokssystemet för mycket. Om han lär ut metoder utan bevis kommer de omotiverade metoderna inte att förstås. Om han ger regler utan skäl kommer de regler som saknar sammanhang att glömmas snabbt. Matematik kan inte prövas på samma sätt som en pudding. Om all slags argumentation förbjuds kan en kurs i integralkalkyl lätt bli en osammanhängande förteckning över svårsmält information.

5. Ofullständiga bevis. Bästa sättet att handskas med dilemmat med för tunga bevis och kokboksnivån är förmodligen att använda ofullständiga bevis i rimlig omfattning.

För en sträng logiker är ett ofullständigt bevis inte något bevis alls. Och naturligtvis borde ofullständiga bevis noga skiljas från fullständiga. Att blanda ihop det ena med det andra är illa nog, att utge det ena för det andra är ännu värre. Det är pinsamt när en läroboksförfattare framställer ett ofullständigt bevis tvetydigt, med tydlig tvekan mellan skamkänsla och anspråk på att beviset är fullständigt. Men ofullständiga bevis kan vara användbara om de används i rätt sammanhang och med gott omdöme. Avsikten med dem är inte att ersätta fullständiga bevis, vilket de aldrig kan, utan att ge intresse och sammanhang åt framställningen.

Exempel 1. En algebraisk ekvation av n-te graden har exakt n rötter. Detta påstående, som kallas algebrans fundamentalsats (Gauss), måste ofta gås igenom med elever som helt saknar bakgrund för att förstå dess bevis. De vet emellertid att en ekvation av första graden har en rot och att en ekvation av andra graden har två rötter. Dessutom innehåller den svåra satsen en del som lätt kan visas: Ingen ekvation av n-te graden har mer än n olika rötter. Utgör dessa fakta ett fullständigt bevis för fundamentalsatsen? Under inga omständigheter. Men de är tillräckliga för att ge den ett visst intresse och en viss sannolikhet — och att prägla in den hos eleverna, vilket är huvudsaken.

Exempel 2. I ett hörn där tre sidor möts är summan av två av de plana vinklar som kanterna bildar alltid större än den tredje. Uppenbarligen innebär denna sats en försäkran att surrunan av två sidor i en sfärisk triangel alltid är större än den tredje. Har vi observerat detta tänker vi helt naturligt på analogin mellan en sfärisk triangel och en vanlig triangel. Utgör dessa anmärkningar ett bevis? Självfallet inte. Men de hjälper oss att förstå och att komma ihåg den givna satsen.

Vårt första exempel har historiskt intresse. I ungefär 250 år trodde matematiker på fundamentalsatsen utan att ha fullständigt bevis — utan att i själva verket ha mycket mer grund än vad vi har nämnt ovan. Vårt andra exempel pekar på Analogi som en viktig källa för gissningar. I matematik liksom i naturvetenskaperna börjar en upptäckt ofta genom iakttagelse, analogi och induktion. Dessa medel, använda med omdöme för att forma ett sannolikt heuristiskt argument, tilltalar speciellt fysiker och ingenjörer. (Se även Induktion och matematisk induktion, 1, 2, 3.)

De ofullständiga bevisens betydelse och intresse förklaras till en viss grad genom att studera lösningsprocessen. Någon erfarenhet i problemlösning visar att den första idén till ett bevis vanligtvis är ofullständig. Den mest väsentliga iakttagelsen, det huvudsakliga sambandet, kärnan i beviset kan finnas där, men detaljer måste utarbetas i efterhand och är ofta besvärliga. En del författare men inte många har förmågan att kunna presentera just kärnan i ett bevis, den huvudsakliga idén i sin enklaste form, och att antyda arten av de återstående detaljerna. Ett sådant bevis, fastän ofullständigt, kan vara mycket mer lärorikt än ett bevis med fullständiga detaljer.

Kort uttryckt kan ofullständiga bevis användas som ett slags mnemotekniskt hjälpmedel (men naturligtvis inte som ersättning för fullständiga bevis) när avsikten är att ge ett godtagbart sammanhang i framställningen och inte en strikt logisk konsekvens.

Det är mycket farligt att förorda ofullständiga bevis. Eventuellt missbruk kan emellertid begränsas med hjälp av några få regler. För det första måste ett bevis som är ofullständigt någonstans och på något sätt anges som sådant. För det andra får en författare eller lärare inte presentera ett ofullständigt bevis som en sats såvida han inte själv känner till ett fullständigt bevis för det.

Och det måste erkännas: att framställa ett ofullständigt bevis med omdöme är inte alls lätt.

Variera problemet. En insekt försöker ta sig ut genom fönsterrutan, försöker samma hopplösa sak om och om igen och prövar inte nästa fönster som står öppet och genom vilket den kom in i rummet. En mus kan handla på ett intelligentare sätt. Om han har fångats i en fälla försöker han pressa sig genom mellan två pinnar, sedan mellan nästa två, sedan mellan andra pinnar. Han varierar sina försök, han undersöker olika möjligheter. En människa kan eller borde kunna variera sina försök på ett ännu mer intelligent sätt, utforska de olika möjligheterna med större förstånd, lära av fel och misstag. "Försök igen" är ett vanligt råd. Det är ett gott råd. Insekten, musen och människan följer det. Men om den ena följer det med mer framgång än den andra så beror det på att han varierar problemet på ett mer intelligent sätt.

1. När vi till slut har kommit fram till lösningen är vår föreställning av problemet mera fullständig och mer exakt än den var i början. I avsikt att komma framåt från vår ursprungliga föreställning av problemet till en mer exakt, mer givande föreställning av problemet prövar vi olika angreppspunkter och ser problemet från olika sidor.

Framgång med problemlösning beror på om vi väljer den rätta aspekten, om vi attackerar fästningen från den svagaste sidan. För att finna den rätta aspekten, den svagaste sidan, försöker vi olika sidor och aspekter, vi varierar problemet.

2. Att variera problemet är viktigt. Detta kan förklaras på olika sätt. Ur en viss synpunkt innebär t.ex. framsteg i problemlösningen en process under vilken vi mobiliserar och organiserar tidigare förvärvade kunskaper. Vi måste dra fram vissa element ur vårt minne och arbeta in dem i problemet. Variation av problemet hjälper oss nu att dra fram sådana element. Hur då?

Vi kommer ihåg saker genom ett slags "kontaktverkan", som kallas "tankeassociation". Det vi tänker på vid ett visst tillfälle påminner oss ofta om liknande situationer där samma tankegångar förekommit. Om vi varierar problemet för vi in nya synpunkter och skapar därigenom nya beröringspunkter, nya möjligheter att få tag på element som är relevanta för vårt problem.

3. Vi kan aldrig hoppas på att kunna lösa något problem som är värt att lösas utan stark koncentration. Men vi tröttnar lätt genom att koncentrera vår uppmärksamhet på samma sak. För att hålla uppmärksamheten vid liv måste föremålet som den riktas mot ändras oupphörligt.

Om vårt arbete gör framsteg finns det något att göra, det finns nya punkter att undersöka, vår uppmärksamhet är spänd, vårt intresse är levande. Men om vi inte gör några framsteg slappnar uppmärksamheten, intresset svalnar, vi tröttnar på problemet och våra tankar börjar vandra. Vi löper risk att förlora problemet helt och hållet. För att undvika denna risk är det nödvändigt att ställa en ny fråga om problemet.

En ny fråga öppnar oprövade möjligheter till kontakt med våra tidigare kunskaper. Den återuppväcker hoppet att vi skall upptäcka något användbart samband. Den nya frågan återvinner vårt intresse genom att variera problemet, genom att visa någon ny aspekt av det.

4. Exempel. Beräkna volymen av en stympad pyramid med kvadratisk bas, om sidan i den undre resp. övre basen är a och b och om höjden är h.

Problemet kan ges till elever som känner till formlerna för volymen av ett prisma och en pyramid. Om eleverna inte kastar fram någon egen idé kan läraren börja med att variera de givna storheterna i problemet. Vi börjar med fallet a > b. Vad händer när b ökar för att till slut bli lika med a? Pyramiden övergår i ett prisma och volymen i fråga blir lika med a²h. Vad händer när b minskar tills den blir lika med noll? Den stympade pyramiden blir en vanlig pyramid och volymen i fråga blir a²h/3.

Detta sätt att variera de givna uppgifterna bidrar först och främst till att göra problemet intressant. Därutöver ger det en antydan om att man på ett eller annat sätt kanske kan använda de resultat som gäller för prismat eller den vanliga pyramiden. I vilket fall som helst har vi funnit några egenskaper som slutresultatet absolut måste ha. Den slutliga formeln måste vara sådan att den reduceras till a²h för b = a och till a²h/3 för b = 0. Det är en stor fördel att kunna förutse egenskaper hos det resultat som vi försöker uppnå. Sådana egenskaper kan leda oss på rätt spår och i varje fall kan vi pröva slutformeln när vi har funnit den. Vi har alltså redan i förväg ett svar på frågan: Kan du kontrollera resultatet? (se denna artikel, avsnitt 2).

Fig. 29

5. Exempel. Konstruera ett trapets med de fyra givna sidorna a, b, c, d. a och c betecknar de olika stora men parallella sidorna, b och d är inte parallella.

Om vi inte har någon annan idé kan vi börja med att variera de givna storheterna. Vi börjar med fallet a > c. Vad inträffar när c minskar tills den blir lika med 0? Trapetset övergår i en triangel. Nu är en triangel en enkel och välkänd figur som vi kan konstruera ur olika givna data. Kanske kan det vara fördelaktigt att införa denna triangel i figuren. Det gör vi genom att dra en enda hjälplinje, en diagonal i trapetset (fig. 29). Om vi undersöker triangeln finner vi emellertid att den knappast är användbar. Vi känner två sidor, a och d, men vi behöver tre uppgifter.

Fig. 30

Låt oss försöka någonting annat. Vad händer när c ökar tills den blir lika med a? Trapetset övergår då i en parallellogram. Kan vi använda den till någonting? En liten undersökning (se fig. 30) riktar vår uppmärksamhet mot den triangel som vi har lagt till det ursprungliga trapetset när vi ritade parallellogrammen. Denna triangel kan lätt konstrueras. Vi känner tre storheter, sidorna h, d och a—c.

Genom att variera det ursprungliga problemet (konstruktionen av ett trapets) har vi kommit fram till ett mer tillgängligt hjälpproblem (konstruktion av en triangel). Genom att använda resultatet till hjälpproblemet kan vi lätt lösa vårt ursprungliga problem (vi behöver bara komplettera parallellogrammen).

Vårt exempel är typiskt. Det är också typiskt att vårt första försök misslyckades. Om vi tittar på det igen kanske vi emellertid upptäcker att det inte var helt bortkastat. Det fanns en idé bakom det. I synnerhet gav det oss tillfälle att tänka på konstruktionen av en triangel som ett medel att nå målet. I själva verket kom vi på vårt andra, lyckosamma försök genom att modifiera vårt första, misslyckade. Vi varierade c. Först lät vi den minska, sedan öka.

6. Liksom i det föregående exemplet måste vi ofta försöka modifiera problemet på olika sätt. Vi måste variera det, formulera om det, transformera det om och om igen tills vi slutligen lyckas finna någonting användbart. Vi kan lära av misstag. Det kan finnas någon god idé i ett misslyckat försök och vi kan komma till ett mera lyckosamt försök genom att modifiera ett som misslyckats. Efter flera försök kommer vi ofta som i föregående exempel till ett mer tillgängligt hjälpproblem.

7. Vissa typer av problemvariation är normalt användbara, som t.ex. att gå tillbaka till Definitioner, Uppdelning och rekombinering, att införa Hjälpkonstruktioner, Generalisering, Specialisering och att använda Analogi.

8. Det vi förut sade under avsnitt 3 om nya frågor som kan återvinna vårt intresse är viktigt om vi vill använda listan på rätt sätt.

En lärare kan använda listan för att hjälpa sina elever. Om eleven gör framsteg behöver han ingen hjälp och läraren bör inte ställa några frågor till honom utan låta honom arbeta på egen hand, vilket uppenbarligen är bättre för hans självsäkerhet. Men läraren bör naturligtvis försöka att hitta några lämpliga frågor eller uppmaningar som kan hjälpa honom när han har kört fast. Ty då finns risken att eleven tröttnar på problemet och släpper det eller att han förlorar intresset och begår något dumt misstag av ren likgiltighet.

Vi kan använda listan för att lösa egna problem. Vi använder den precis som i förra fallet. Om vi gör tillfredsställande framsteg, om vi spontant gör nya observationer, skulle det helt enkelt vara dumt att hindra de spontana framstegen med onödiga frågor. Men om vi inte kommer någon vart, om vi inte får några idéer, löper vi risken att tröttna på problemet. Det är då det är dags att tänka på någon allmän ide som skulle kunna vara användbar eller på någon fråga eller uppmaning på listan som skulle kunna passa. Och varje fråga är välkommen som har någon möjlighet att visa upp en ny aspekt av problemet. Den kan vinna tillbaka vårt intresse, den kan hålla vårt arbete och tänkande vid liv.

Villkor är en av huvuddelarna i ett "sökproblem". Se Sökproblem, Bevisproblem, 3. Se även Beteckningar och termer, 2.

Ett villkor kallas överflödigt om det innehåller överflödiga delar. Det kallas motsägelsefullt om dess delar ömsesidigt motsäger varandra så att det inte kan finnas något objekt som uppfyller villkoret.

Om ett villkor därför uttrycks med fler linjära ekvationer än det finns obekanta är det antingen överflödigt eller motsägelsefullt. Om villkoret uttrycks genom färre ekvationer än det finns obekanta är det otillräckligt för att bestämma de obekanta. Om villkoret uttrycks med just så många ekvationer som det finns obekanta är det vanligtvis precis tillräckligt för att bestämma de obekanta men kan också i undantagsfall vara motsägelsefullt eller otillräckligt.

Är det möjligt att uppfylla villkoret? Är villkoret tillräckligt för att bestämma den obekanta? Eller är det otillräckligt? Eller överflödigt? Eller motsägelsefullt?

Dessa frågor är ofta användbara på ett tidigt stadium där de inte behöver ett slutgiltigt svar utan bara ett provisoriskt svar eller en gissning. För exempel på detta se avsnitt 8, 18.

Det är lämpligt att försöka förutse några karakteristiska detaljer av det resultat vi arbetar fram emot. När vi har någon föreställning om vad som är att vänta vet vi bättre vilken väg vi skall slå in på. Antalet möjliga lösningar till ett visst problem är en mycket viktig egenskap hos problemet. Intressantast är de problem som bara tillåter en lösning. Vi är benägna att betrakta problem med entydigt bestämda lösningar som de enda "vettiga" problemen. Är vårt problem "vettigt" i denna mening? Om vi kan besvara denna fråga, t.o.m. bara med en sannolik gissning, ökar vårt intresse för problemet och vi kan arbeta bättre.

Är problemet "vettigt"? Frågan är användbar på ett tidigt stadium av vårt arbete om den är lätt att besvara. Om det är svårt att komma fram till något svar kan det besvär vi har att komma fram till det mycket väl uppväga vårt ökade intresse. Samma sak gäller om frågan Är det möjligt att uppfylla villkoret? och de tillhörande frågorna på vår lista. Vi bör ställa dem eftersom svaret kan vara lätt och sannolikt men vi bör inte alls uppehålla oss vid dem när svaret verkar vara besvärligt eller dunkelt.

Motsvarande frågor för "bevisproblem" är: Är det troligt att påståendet är sant? Eller är det troligare att det är falskt? Sättet att ställa frågan visar klart att bara en gissning eller ett provisoriskt, sannolikt svar väntas.

Överflödig. Se Villkor.